Часть третья. ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Мы будем заниматься модулями и векторными пространствами, исследуя их структуру с различных точек зрения. Основной темой здесь будет изучение пары, состоящей из модуля и эндоморфизма или кольца эндоморфизмов, и попытки разложить такую пару в прямую сумму компонент, структура которых может быть явно описана. Тема прямой суммы повторяется в каждой главе. Иногда для получения разложения в прямую сумму мы используем двойственность относительно спаривания, а иногда получаем наше разложение непосредственно. Если модуль никак не разлагается в прямую сумму простых компонент, у нас не остается другого выбора, как применить конструкцию Гротендика и посмотреть, что из этого может получиться.

Тема продолжения встречается лишь однажды, в теореме Витта, кратким контрапунктом к теме разложения.

Глава XIII. Матрицы и линейные отображения

На протяжении этой главы R обозначает коммутативное кольцо и Е, F — R-модули. Приставку R - перед линейными отображениями и модулями мы будем опускать.

§ 1. Матрицы

Под матрицей размера над R понимается снабженное двумя индексами семейство элементов из обычно записываемое в виде

Мы будем называть коэффициентами или компонентами матрицы. Матрица размера называется строкой (размерности, или длины, ), а матрица размера -столбцом (размерности, или высоты, ).

Сложение для матриц одинакового размера определяется покомпонентно. Если — матрицы одного и того же размера, то под понимается матрица, у которой -компонента равна Сложение, очевидно, ассоциативно. Произведение матрицы А на элемент мы определяем как матрицу у которой -компонента равна . Таким образом, множество матриц размера над R является модулем (т. е. R-модулем).

Произведение АВ двух матриц определено лишь при определенных условиях, а именно когда А имеет размер , а В имеет размер , т. е. только в том случае, когда длина строк в А такая же, как и высота столбцов в В. Пусть это имеет место, и пусть Мы понимаем под АВ матрицу размера , у которой -компонента равна

Если для матриц А, В, С произведения АВ и ВС определены, то определены также произведения (АВ)С и А(ВС) и выполняется равенство

Доказывается это тривиально. Пусть Читатель тотчас обнаружит, что - компонента каждого из предыдущих произведений равна

Матрица размера туп называется квадратной матрицей, если Например, матрица размера - квадратная матрица; она иногда будет отождествляться с элементом из R, являющимся ее единственной компонентой.

Для данного целого числа квадратные матрицы размера образуют кольцо.

Это опять-таки тривиально проверяется, и проверка предоставляется читателю.

Единичным элементом кольца матриц размера является матрица

все компоненты которой равны 0, за исключением стоящих на диагонали, которые равны 1. Мы иногда будем писать вместо Вообще если — квадратная матрица, то мы будем называть элементы ее диагональными компонентами.

Имеется естественный гомоморфизм кольца R в кольцо матриц размера пуп, задаваемый правилом

Здесь — это квадратная матрица размера , у которой все компоненты равны 0, за исключением диагональных компонент, которые равны с. Будем обозначать кольцо матриц размера над R через Тогда есть алгебра над R (относительно введенного выше гомоморфизма).

Пусть — матрица размера Назовем транспонированной (по отношению) к ней матрицей матрицу Тогда А — матрица размера .

Читатель тотчас проверит, что если А, В — матрицы одинакового размера, то

Если то . Если матрицы А, В можно перемножить, то произведение определено и

Отметим, что операции над матрицами коммутируют с гомоморфизмами. Более точно, пусть — гомоморфизм колец, и пусть А, В — матрицы над R. Определим как матрицу, получаемую применением ко всем компонентам А. Тогда

Аналогичные замечания будут применимы ко всем нашим дальнейшим рассмотрениям (например, в следующем параграфе).

Пусть квадратная матрица размера над коммутативным кольцом R. Определим след А формулой

другими словами, след есть сумма диагональных элементов. Для любых двух матриц размера

Действительно, если то

В качестве приложения заметим, что если В — обратимая матрица размера (т. е. является единицей в кольце матриц), то

Действительно, .