Главная > Алгебра
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Часть третья. ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Мы будем заниматься модулями и векторными пространствами, исследуя их структуру с различных точек зрения. Основной темой здесь будет изучение пары, состоящей из модуля и эндоморфизма или кольца эндоморфизмов, и попытки разложить такую пару в прямую сумму компонент, структура которых может быть явно описана. Тема прямой суммы повторяется в каждой главе. Иногда для получения разложения в прямую сумму мы используем двойственность относительно спаривания, а иногда получаем наше разложение непосредственно. Если модуль никак не разлагается в прямую сумму простых компонент, у нас не остается другого выбора, как применить конструкцию Гротендика и посмотреть, что из этого может получиться.

Тема продолжения встречается лишь однажды, в теореме Витта, кратким контрапунктом к теме разложения.

Глава XIII. Матрицы и линейные отображения

На протяжении этой главы R обозначает коммутативное кольцо и Е, F — R-модули. Приставку R - перед линейными отображениями и модулями мы будем опускать.

§ 1. Матрицы

Под матрицей размера над R понимается снабженное двумя индексами семейство элементов из обычно записываемое в виде

Мы будем называть коэффициентами или компонентами матрицы. Матрица размера называется строкой (размерности, или длины, ), а матрица размера -столбцом (размерности, или высоты, ).

Сложение для матриц одинакового размера определяется покомпонентно. Если — матрицы одного и того же размера, то под понимается матрица, у которой -компонента равна Сложение, очевидно, ассоциативно. Произведение матрицы А на элемент мы определяем как матрицу у которой -компонента равна . Таким образом, множество матриц размера над R является модулем (т. е. R-модулем).

Произведение АВ двух матриц определено лишь при определенных условиях, а именно когда А имеет размер , а В имеет размер , т. е. только в том случае, когда длина строк в А такая же, как и высота столбцов в В. Пусть это имеет место, и пусть Мы понимаем под АВ матрицу размера , у которой -компонента равна

Если для матриц А, В, С произведения АВ и ВС определены, то определены также произведения (АВ)С и А(ВС) и выполняется равенство

Доказывается это тривиально. Пусть Читатель тотчас обнаружит, что - компонента каждого из предыдущих произведений равна

Матрица размера туп называется квадратной матрицей, если Например, матрица размера - квадратная матрица; она иногда будет отождествляться с элементом из R, являющимся ее единственной компонентой.

Для данного целого числа квадратные матрицы размера образуют кольцо.

Это опять-таки тривиально проверяется, и проверка предоставляется читателю.

Единичным элементом кольца матриц размера является матрица

все компоненты которой равны 0, за исключением стоящих на диагонали, которые равны 1. Мы иногда будем писать вместо Вообще если квадратная матрица, то мы будем называть элементы ее диагональными компонентами.

Имеется естественный гомоморфизм кольца R в кольцо матриц размера пуп, задаваемый правилом

Здесь — это квадратная матрица размера , у которой все компоненты равны 0, за исключением диагональных компонент, которые равны с. Будем обозначать кольцо матриц размера над R через Тогда есть алгебра над R (относительно введенного выше гомоморфизма).

Пусть матрица размера Назовем транспонированной (по отношению) к ней матрицей матрицу Тогда А — матрица размера .

Читатель тотчас проверит, что если А, В — матрицы одинакового размера, то

Если то . Если матрицы А, В можно перемножить, то произведение определено и

Отметим, что операции над матрицами коммутируют с гомоморфизмами. Более точно, пусть гомоморфизм колец, и пусть А, В — матрицы над R. Определим как матрицу, получаемую применением ко всем компонентам А. Тогда

Аналогичные замечания будут применимы ко всем нашим дальнейшим рассмотрениям (например, в следующем параграфе).

Пусть квадратная матрица размера над коммутативным кольцом R. Определим след А формулой

другими словами, след есть сумма диагональных элементов. Для любых двух матриц размера

Действительно, если то

В качестве приложения заметим, что если В — обратимая матрица размера (т. е. является единицей в кольце матриц), то

Действительно, .

1
Оглавление
email@scask.ru