§ 6. Группа Витта

Пусть — симметрические формы на векторных пространствах над k. Мы будем говорить, что они эквивалентны, если изометрична Читатель тотчас проверит, что это действительно отношение эквивалентности. Далее, (ортогональная) сумма двух нулевых форм есть нулевая форма, а сумма двух гиперболических форм — гиперболическая форма. Однако сумма двух определенных форм, разумеется, не обязательно является определенной формой. Мы будем записывать наше отношение эквивалентности так: Эквивалентность сохраняется при ортогональных суммах и, следовательно, классы эквивалентности симметрических форм образуют коммутативный моноид.

Теорема 3. Моноид классов эквивалентности симметрических форм (над полем k) является группой.

Доказательство. Мы должны показать, что всякий элемент обладает аддитивным обратным. Пусть -симметрическая форма; мы можем считать ее определенной. Обозначим через —g форму на Е, для которой Мы утверждаем, что форма эквивалентна 0. Пусть Е — пространство, на котором определена форма g. Тогда форма определена на . Пусть W — подпространство, состоящее из всех пар , где . Тогда W — нуль-пространство для . Так как , то W — максимальное нуль-пространство и форма — гиперболическая, что и требовалось показать.

Группа из теоремы 3 называется группой Витта поля k и обозначается через W (k). Она важна при изучении представлений элементов поля k квадратичной формой порожденной например, когда хотят классифицировать определенные формы

Определим теперь другую группу, которая важна при более функториальном изучении симметрических форм, например, при изучении квадратичных форм, возникающих при исследовании многообразий в топологии.

Заметим, что классы изометрии невырожденных симметрических форм (над k) образуют моноид М(k), законом композиции в котором служит взятие ортогональной суммы. Кроме того, в нем выполняется закон сокращения (следствие 4 теоремы 2). Пусть

— каноническое отображение в группу Гротендика этого моноида, которую мы будем называть группой Витта—Гротендика над k. Как мы знаем, из выполнимости закона сокращения следует, что у инъективно.

Пусть -симметрическая невырожденная форма над k. Мы определяем ее размерность как размерность того пространства Е, на котором она определена. Ясно, что

Следовательно, можно продолжить до гомоморфизма

Этот гомоморфизм расщепляется, так как существует невырожденная симметрическая форма размерности 1.

Пусть - ядро гомоморфизма . Если g — невырожденная симметрическая форма, то ее определителем мы будем считать взятый по модулю квадратов в k определитель матрицы О, представляющей g относительно некоторого базиса. Как элемент из он однозначно определен. Положим - формы равным 1. Тогда есть гомоморфизм

и может поэтому быть продолжен до гомоморфизма, обозначаемого по-прежнему через группы Витта — Гротендика:

Некоторые другие свойства группы Витта—Гротендика приведены в упражнениях.