§ 4. Линейная независимость характеров

Пусть G — моноид и К — поле. Под характером G в К мы (в этой главе) будем понимать гомоморфизм

моноида G в мультипликативную группу поля К. Тривиальный характер — это гомоморфизм, принимающий постоянное значение 1. Функции называются линейно независимыми над К, если из любого соотношения вида

с следует, что все

Теорема 7 (Артин) Пусть - различные характеры G в К Тогда они линейно независимы над К

Доказательство Один характер, очевидно, линейно независим. Предположим, что имеется соотношение

где коэффициенты не все равны 0 Возьмем такое соотношение с наименьшим возможным . Тогда и ни один а, не равен 0 Так как различны, то существует элемент - такой, что Для всех имеем

и так как — характеры, то

Разделим на и вычтем из нашего первого соотношения Член сократится, и мы получим соотношение

Первый коэффициент в этом соотношении отличен от 0, и оно имеет меньшую длину, чем первоначальное соотношение — противоречие.

В качестве приложения теоремы Артина можно рассмотреть случай, когда К — конечное нормальное расширение поля k, а характеры - различные автоморфизмы поля К над k, рассматриваемые как гомоморфизмы группы К в К. Этот частный случай был исследован уже Дедекиндом, который, однако, сформулировал теорему несколько иным образом, рассматривая определитель, составленный из где -подходящее множество элементов из К, и доказывая более сложным путем тот факт, что этот определитель отличен от 0 Формулировка, данная выше, и весьма элегантное доказательство теоремы принадлежат Артину

В качестве другого приложения имеем

Следствие. Пусть — различные ненулевые элементы поля К Если — элементы из К, такие, что для всех целых

то

Доказательство Применяем теорему к различным гомоморфизмам

группы Z в К.

Другое интересное приложение будет дано в упражнениях (относительные инварианты).