§ 2. Пополнения

Пусть К — поле с нетривиальным абсолютным значением v, которое во всем этом параграфе будет оставаться фиксированным. Обычным способом можно определить понятие последовательности Коши. Это такая последовательность элементов из К, что для заданного существует целое число N, такое, что для всех имеем

Мы будем говорить, что поле К полное, если всякая последовательность Коши сходится.

Предложение 2. Существует пара состоящая из поля полного относительно некоторого абсолютного значения и вложения такого, что абсолютное значение на К индуцируется абсолютным значением на для

При этом плотно в . Если - другая такая пара, то существует однозначно определенный изоморфизм сохраняющий абсолютные значения, для которого коммутативна следующая диаграмма:

Доказательство. Единственность очевидна. Существование доказывается хорошо известным способом, который мы сейчас кратко напомним, предоставив детали читателю.

Последовательности Коши образуют кольцо, сложение и умножение в котором производятся покомпонентно.

Определяется нуль-последовательность как последовательность для которой . Нуль-последовательности образуют идеал в кольце последовательностей Коши, который на самом деле является максимальным идеалом. (Если последовательность Коши не является нуль последовательностью, то для всех достаточно больших ее члены отличны от 0 и для почти всех ее членов можно взять обратные элементы. С точностью до конечного числа членов снова получаем последовательность Коши.)

Поле классов вычетов кольца последовательностей Коши по модулю нуль-последовательностей и есть поле . Мы вкладываем К в «по диагонали», т. е. сопоставляем элементу последовательность

Абсолютное значение на К продолжаем на по непрерывности. Если -последовательность Коши, представляющая элемент из то полагаем Легко доказывается, что так определенное абсолютное значение не зависит от выбора представляющей последовательности для Е, и индуцирует заданное абсолютное значение на К.

Наконец, доказывается, что поле — полное. Это делается обычным диагональным процессом. Если ...-последовательность Коши в и представляется последовательностью Коши из К, то без всякого труда доказывается, что

будет последовательностью Коши в К, представляющей элемент из для которого

Пара фигурирующая в предложении 2, может быть названа некоторым пополнением К. Стандартная пара, полученная с помощью предыдущей конструкции, могла бы быть названа (просто) пополнением К.

Пусть поле К снабжено некоторым нетривиальным архимедовым абсолютным значением v. Если известно, что ограничение v на подполе рациональных чисел зависимо от обычного абсолютного значения, то пополнение является полным полем, содержащим пополнение поля Q в качестве замкнутого подполя, т. е. содержащим в качестве замкнутого подполя поле R вещественных чисел. Стоит привести теорему Гельфанда — Мазура, касающуюся структуры таких полей. Но сначала введем понятие нормированного векторного пространства.

Пусть К — поле с нетривиальным абсолютным значением и Е — векторное пространство над К. Под нормой на Е (согласованной с абсолютным значением на К) мы будем понимать функцию отображающую Е в поле вещественных чисел, такую, что

НО 1. для всех тогда и только тогда, когда

НО 2.

НО 3. Если , то . Две нормы называются эквивалентными, если существуют числа такие, что для всех имеют место неравенства

Предположим, что пространство Е конечномерно с базисом над К. Имея выражения

элементов через этот базис, мы можем определить норму, положив

Три свойства, определяющих норму, тривиально проверяются.

Предложение 3. Пусть К — поле, полное относительно некоторого нетривиального абсолютного значения, Е — конечномерное пространство над К. Любые две нормы на Е (согласованные с заданным абсолютным значением на К) эквивалентны.

Доказательство. Докажем сначала, что топология на Е является топологией прямого произведения, т. е. что если базис Е над К. то последовательность

является последовательностью Коши в Е в точности тогда, когда каждая из последовательностей является последовательностью Коши в К.

Доказывать будем индукцией по . Утверждение очевидно для Предположим, что . Рассмотрим указанную выше последовательность. Не теряя общности, мы можем считать, что она сходится к 0. (Если необходимо, рассмотрим последовательность ) — при Мы должны показать, что последовательности коэффициентов также сходятся к 0. Если это не имеет места, то существует число такое, что при некотором j, скажем

для сколь угодно больших V. Таким образом, для некоторой подпоследовательности значений v последовательность сходится к 0 и, следовательно,

Пусть обозначает правую часть этого равенства. Тогда подпоследовательность сходится (поскольку сходится левая часть равенства). По индукции заключаем, что коэффициенты при соге также сходятся в К, скажем, к . Беря предел, получаем, что

вопреки линейной независимости

В заключение мы должны убедиться, что нормы, индуцирующие одинаковую топологию, эквивалентны. Пусть этими нормами будут . Существует число такое, что для любого

Возьмем элемент с условием Для всякого существует однозначно определенное целое число s, такое, что

Значит, , откуда тотчас получаем

Второе неравенство следует из симметрии с аналогичной константой

Теорема 1. Пусть А — коммутативная алгебра над полем вещественных чисел, содержащая некоторый элемент j, такой, что . Положим Допустим, что А нормирована (как векторное пространство над R) и что

Тогда для заданного элемента найдется элемент , такой, что с необратим в А.

Доказательство (Торнхейм). Предположим, что элемент обратим для всех , Рассмотрим отображение , определяемое формулой

Легко проверяется (как обычно), что взятие обратных является непрерывной операцией. Следовательно, непрерывно и для имеем

Отсюда мы видим, что стремится к нулю, когда z уходит в бесконечность (в С). Следовательно, является непрерывным отображением С в множество вещественных чисел 0, ограниченным и принимающим малые значения вне некоторого большого круга. Значит, оно имеет максимум, скажем М. Пусть D — множество элементов для которых Тогда D непусто; D ограничено и замкнуто. Докажем, что D открыто, и тем самым получим противоречие.

Пусть — некоторая точка из D, которую после сдвига мы можем предполагать совпадающей с нулем. Мы утверждаем, что если , вещественное мало, то все точки окружности радиуса с центром в лежат в D. Действительно, рассмотрим сумму

где — примитивный корень степени из единицы. Формальное взятие логарифмической производной от показывает, что

откуда, деля на и подставляя вместо X, получаем

Если мало (скажем, то

Предположим, что существует комплексное число X с абсолютным значением 1, такое, что

Тогда около К найдется на единичной окружности интервал и найдется такое число что для всех корней из единицы ?, лежащих в этом интервале,

(Это вытекает из непрерывности.) Возьмем достаточно большим. Пусть — число корней степени из единицы, лежащих в нашем интервале. Тогда приблизительно равно длине этого интервала (деленной на ). Мы можем представить в виде суммы

где первая сумма берется по тем корням из единицы со, которые лежат в нашем интервале, а вторая сумма берется по всем остальным корням. Каждый член второй суммы имеет норму М, так как М—максимум. Следовательно, получаем оценку

Это противоречит тому факту, что предел равен М.

Следствие. Пусть поле К является расширением поля R и обладает абсолютным значением, продолжающим обычное абсолютное значение на R. Тогда либо либо .

Доказательство. Допустим сначала, что К содержит С. Тогда из предположения, что К — поле, и из теоремы 1 следует, что

Если К не содержит С, другими словами, не содержит квадратного корня из —1, то мы введем где Определим норму на L (как - пространстве), положив

для Это, очевидно, превращает L в нормированное R-пpoстранство. Кроме того, если то

и мы можем снова применить теорему 1, что и завершает доказательство.

При помощи предложения 3 получается следующее важное утверждение:

Предложение 4. Пусть К — поле, полное относительно нетривиального абсолютного значения v, и Е — произвольное алгебраическое расширение К. Тогда v имеет единственное продолжение на Е. Если Е конечно над К, то Е полное.

Доказательство. В архимедовом случае существование продолжения очевидно, поскольку мы имеем дело с вещественными или комплексными числами. В неархимедовом случае мы отложим доказательство существования до одного из следующих параграфов. Оно использует идеи, совершенно отличные от рассматриваемых здесь. касается единственности, то мы можем предполагать, что Е конечно над К. В силу предложения 3 всякое продолжение v на Е определяет ту же топологию, что и норма, задаваемая как максимум абсолютных значений коэффициентов в разложении по базису. Если и Е задана последовательность Коши

то последовательностей должны быть последовательностями Коши в А по определению нормы как максимума норм коэффициентов. Если сходится в К к элементу , то очевидно, что последовательность сходится к . Следовательно, Е—полное. Кроме того, поскольку любые два продолжения v на Е эквивалентны, мы можем применить предложение 1, причем обязательно так как оба продолжения индуцируют одно и то же абсолютное значение v на К. Это доказывает то, что нужно.

Из единственности мы можем получить явное выражение для абсолютного значения на алгебраическом расширении К. Заметим сначала, что если Е — нормальное расширение К и — автоморфизм Е над , то функция

является абсолютным значением на Е, продолжающим заданное абсолютное значение на К.

Следовательно, мы должны иметь

для всех Если Е алгебраично над — вложение Е в К над К, то остается справедливым то же заключение. В часности, если а — алгебраический элемент степени над К и а, его сопряженные (с учетом кратностей, равных степени несепарабельности), то все абсолютные значения равны.

Обозначив через N норму из К(а) в К, мы видим, что

и извлекая корень степени, получаем

Предложение 5. Пусть К — поле, полное относительно некоторого нетривиального абсолютного значения. Пусть элемент а алгебраичен над К и N — норма из К(а) в К. Если , то

В частном случае поля комплексных чисел над полем вещественных чисел можно записать где , и мы видим, что формула из предложения S является обобщением формулы для абсолютного значения комплексного числа

поскольку есть не что иное, как норма числа а из С в