§ 11. Эрмитовы формы

Пусть некоторое упорядоченное поле (подполе поля вещественных чисел, если вам хочется), и пусть где Тогда обладает автоморфизмом порядка 2, неподвижным полем для которого служит

Пусть Е — конечномерное векторное пространство над Мы будем рассматривать эрмитову форму на Е, т. е. отображение

записываемое в виде

которое -линейно по своему первому аргументу, -антилинейно по второму аргументу и таково, что

Заметим, что для всех Это по существу является причиной того, что доказательства утверждений, касающихся симметрических форм, сохраняются без существенных изменений в эрмитовом случае. Мы сейчас перечислим свойства, относящиеся к этому случаю.

Теорема 8. Существует ортогональный базис. Если форма невырожденная, то существует целое число 0, такое, что, каков бы ни был ортогональный базис среди элементов

точно больше 0 и меньше 0.

Ортогональный базис для которого или — 1, называется ортонормальным базисом.

Следствие 1. Предположим, что форма невырождена и что всякий положительный элемент в является квадратом. Тогда существует ортонормальный базис.

Мы будем говорить, что эрмитова форма положительно определенная, если для всех Мы будем говорить, что она отрицательно определенная, если для всех

Следствие 2. Предположим, что форма невырождена. Тогда Е допускает ортогональное разложение такое, что форма является положительно определенной на и отрицательно определенной на Размерность одинакова во всех таких разложениях.

Доказательства теоремы 8 и ее следствий идентичны доказательствам аналогичных результатов для симметрических форм и предоставляются читателю.

Для любого - линейного отображения имеет место поляризационное тождество, а именно

Если для всех , то, заменив на получим

Отсюда заключаем:

Это единственное утверждение, которое не имеет аналога в случае симметрических форм. Наличие I при получении одного из предыдущих линейных уравнений существенно для вывода. На практике это утверждение используется в комплексном случае и аналогичная ситуация встречается в вещественном случае, когда отображение А симметрическое. Формулировка для симметрических отображений очевидна.

Предположим, что эрмитова форма — положительно определенная и что всякий положительный элемент в является квадратом.

Имеет место неравенство Шварца, а именно

доказательство которого снова получается разложением

и подстановкой .

Определим норму положив

Тогда сразу же получаем неравенство треугольника

и для равенство

Точно так же, как в симметрическом случае, для заданного базиса можно найти ортонормальный базис посредством индуктивного процесса вычитания последовательных проекций. Мы предоставляем это читателю.