§ 12. Теорема о нормальном базисе
Теорема 20. Пусть 
— конечное расширение Галуа степени 
— элементы его группы Галуа G. Тогда существует элемент 
такой, что 
образуют базис К над 
Доказательство. Здесь мы докажем это только для случая, когда k бесконечно. В случае конечного поля k доказательство можно будет провести позднее методами линейной алгебры как упражнение.
Для всякого 
пусть 
переменная и 
Положим 
Пусть
Тогда 
не является тождественным нулем, что видно, если подставить 1 вместо 
вместо 
для 
Так как k бесконечно, то по теореме 19 определитель не может быть равным нулю при всех 
если мы в 
подставим 
вместо 
Следовательно, существует элемент 
для которого
Предположим, что элементы 
таковы, что
Применим 
к этому соотношению для каждого 
Поскольку 
мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных 
Так как определитель из коэффициентов 
, то
и, следовательно, w будет искомым элементом.
