§ 4. Определители

Пусть — модули. Отображение

называется -полилинейным (или просто полилинейным), если оно линейно по каждой переменной, т. е. если для всякого индекса i и элементов отображение

является линейным отображением

Полилинейное отображение, определенное на -кратном произведении, называется также -линейным. Если то мы будем говорить, что — полилинейное отображение на Е, вместо того, чтобы говорить, что оно полилинейно на

Пусть -линейное отображение. Выбрав два индекса i, . а потом зафиксировав все переменные, кроме i-й и мы можем рассматривать как билинейное отображение на

Предположим, что . Говорят, что полилинейное отображение является знакопеременным, если всякий раз как существует такой индекс что (другими словами, когда два соседних элемента равны).

Предложение 3. Пусть — - линейное знакопеременное отображение на Тогда

Другими словами, когда мы переставляем два соседних аргумента, значение меняет знак. Если для то

Доказательство. Сосредотачивая свое внимание на множителях, стоящих на месте, мы можем считать, что в нашем первом утверждении билинейно. Тогда для всех имеем

Этим и доказано то, что нужно, а именно что . Что касается второго утверждения, то мы можем последовательно переставлять соседние аргументы до тех пор, пока имеющиеся по условию два равных аргумента не станут рядом. Это показывает, что когда

Следствие. Пусть - линейное знакопеременное отображение на Е. Пусть Тогда значение на не изменится, если мы заменим на а все другие компоненты оставим неизменными.

Доказательство. Очевидно.

Полилинейное знакопеременное отображение, принимающее свои значения в R, называется полилинейной знакопеременной формой.

Нам неоднократно придется вычислять значения полилинейного знакопеременного отображения на линейных комбинациях элементов из Е.

Положим

Пусть f — -линейное знакопеременное отображение на Е. Разлагая правую часть равенства

мы получим сумму членов вида

где о пробегает множество произвольных отображений набора в себя. Если а не биективно (т. е. не является перестановкой), то два аргумента совпадут при и соответствующий член будет равен 0. Следовательно, мы можем брать нашу сумму лишь по перестановкам а. Перемещая элементы обратно, к их стандартному порядку, и используя предложение 3, мы приходим к следующему разложению.

Лемма. Пусть обозначают то же, что а выше. Тогда

где сумма берется по всем перестанов кам о множества есть знак перестановки.

При рассмотрении определителей я буду следовать изложению Артина в его книге «Galois Theory».

Под определителем размера мы будем понимать отображение

обозначаемое также через

которое обладает свойством и является, если рассматривать его как функцию от столбцов матрицы А, полилинейным знакопеременным отображением. В этой главе для обозначения определителей мы будем использовать главным образом букву

Позднее мы докажем, что определители существуют. А сейчас мы выведем их свойства.

Правило Крамера. Пусть — столбцы размерности , и пусть элементы таковы, что

для некоторого столбца В.

Тогда для всякого I имеем

где в правой части равенства В стоит на i-м месте.

Доказательство. Пусть, скажем, Напишем разложение

и применим предложение 3 (все члены в правой части равны 0, за исключением одного, содержащего ).

Следствие. Предположим, что R — поле. Тогда линейно зависимы в том и только в том случае, если

Доказательство. Пусть мы имеем соотношение

где . Тогда для всех I. Если некоторый коэффициент , то . Обратно, предположим, что линейно независимы. Тогда мы можем представить единичные векторы (см. § 3) в виде линейных комбинаций

где

Ввиду предыдущей леммы последнее выражение может быть разложено в сумму членов, содержащих и следовательно, не может быть равно 0.

Предложение 4. Если определители существуют, то они определены однозначно. Если, далее. — столбцы размерности матрицы , то

где сумма берется по всем перестановкам о множества — знак перестановки.

Доказательство. Пусть — как обычно, единичные векторы. Мы можем записать

Поэтому

в силу леммы. Это доказывает, что значение определителя однозначно определено и задается указанной формулой.

Следствие. Пусть гомоморфизм в коммутативное кольцо. Если А — квадратная матрица над R и — матрица, полученная применением к каждой компоненте А, то

Доказательство. Применим к выражению из предложения 4.

Предложение 5. Для всякой квадратной матрицы А над

Доказательсто. В произведении

каждое целое число k от 1 до встречается среди чисел точно один раз. Следовательно, мы можем переписать это произведение в виде

а так как , то сумма из предложения 4 запишется в виде

В этой сумме каждый член соответствует перестановке . Однако, когда пробегает все перестановки, то же самое происходит и . Следовательно, наша сумма равна

а это есть не что иное, как что и требовалось показать.

Следствие, Определитель является полилинейным и знакопеременным по отношению к строкам матрицы

Теперь мы докажем существование и одновременно одно дополнительное важное свойство определителей.

При полагаем для любых

Предположим, что мы уже доказали существование определителей размера для всех целых чисел .

Пусть А — матрица размера над Обозначим через матрицу размера полученную из А вычеркиванием строки и столбца. Пусть - фиксированное целое число . Определяем индуктивно

(Это выражение известно как разложение определителя D по строке.) Докажем, что D удовлетворяет определению определителя.

Рассмотрим D как функцию столбца. Возьмем произвольный член

Если то не зависит от столбца, зависит от столбца линейно. Если , то зависит линейно столбца, от столбца не зависит. Так как определитель есть сумма таких членов, то он зависит от столбца линейно и, таким образом, полилинеен.

Далее, предположим, что два соседних столбца равны, скажем, Пусть индекс Тогда матрица имеет два соседних равных столбца и, следовательно, ее определитель равен 0. Таким образом, члены, соответствующие индексу или дают нулевой вклад в Остальные два члена могут быть записаны так:

Матрицы равны ввиду предположения, что столбец А равен ( столбцу. Аналогично Следовательно, эти два члена сокращаются, поскольку они имеют противоположные знаки. Это доказывает, что наша форма — знакопеременная, и дает

Предложение 6. Определители существуют и удовлетворяют правилу разложения по строкам и столбцам.

[Для разложения по столбцам мы используем тот факт, что ]

Теорема 1. Пусть Е — модуль над — элементы из Е и — матрица над R Положим

Пусть, далее, — некоторое -линейное знакопеременное отображение на Е. Тогда

Доказательство. Разложим

и, приняв во внимание, что получим в точности то, что требовалось.

Пусть Е, F — модули, и пусть обозначает множество всех -линейных знакопеременных отображений Е в F. Если то мы также будем писать . Ясно, что — модуль над R, т. е. это множество замкнуто относительно сложения и умножения на элементы из

Следствие 1. Пусть Е — свободный модуль над - некоторый его базис. Пусть, далее, F — произвольный модуль и Тогда существует единственное -линейное знакопеременное отображение

такое, что

Доказательство. Не теряя общности, мы можем предполагать, что и если — столбцы, то мы полагаем Тогда очевидно, обладает требуемыми свойствами.

Следствие 2. Если модуль Е свободен над R и обладает базисом, состоящим из элементов, то модуль свободен над R и обладает базисом, состоящим из одного элемента.

Доказательство. Пусть — полилинейное знакопеременное отображение, принимающее значение 1 на базисе

Любой элемент () может быть записан единственным образом виде для некоторого а именно для

Это доказывает то, что нужно.

Любые два базиса для в предыдущем следствии отличаются множителем, являющимся единицей в R. Другими словами, если — базис то для некоторого и с должно быть единицей. Базис зависит, конечно, от выбора базиса для Е. мы рассматриваем наш определитель D есть в точности по отношению к стандартному состоящему из - единичных векторов

Иногда бывает удобно говорить, что любой базис в является определителем на Е. В этом случае следствие из правила Крамера может быть сформулировано несколько иначе.

Следствие 3. Пусть R — поле, Е — векторное пространство размерности и А — произвольный определитель на Е. Пусть Для того чтобы было базисом Е, необходимо и достаточно, чтобы

Предложение 7. Для любых матриц А, В размера над

Доказательство. Это предложение является в действительности следствием теоремы 1. Возьмем в качестве единичные векторы и рассмотрим

Получим

С другой стороны, пользуясь ассоциативностью и применяя теорему Г дважды, имеем

Так как , то получаем наше предложение.

Пусть -матрица размера над Введем матрицу

в которой

(Обратите внимание, что индексы переставлены!)

Предложение 8. Пусть Тогда Определитель обратим в R в том и только в том случае если матрица А обратима, и в этом случае

Доказательство. Для любой пары индексов i, k - компонента матрицы АА равна

Если , то сумма является просто разложением определителя по i-й строке и, следовательно, равна . Если , то обозначим через А матрицу, полученную из А заменой строки на строку с сохранением всех остальных элементов неизменными. Если мы вычеркнем из строку и столбец, то получим ту же самую матрицу, что и вычеркивая строку и столбец из матрицы А. Таким образом,

и наша предыдущая сумма может быть записана в виде

Это есть разложение определителя А по строке. Так как то наша сумма равна 0. Мы таким образом доказали, что -компонента матрицы равна d, если (т. е. если это диагональная компонента), и равна 0 в противном случае. Это доказывает, что . С другой стороны, из определений мы тотчас заключаем, что Поэтому

т. е. поскольку Когда - единица в R, матрица обратима и обратной для нее служит матрица Обратно, если А обратима и то и, следовательно, элемент D(А) обратим, что и требовалось показать.

Следствие. Пусть F — произвольный R-модуль — элементы из F и — матрица размера Предположим, что

Тогда для всех i. В частности, если F порождается элементами то

Доказательство. Это вытекает из замечаний § 3. Умножая на А, находим

где

Предложение 9. Пусть Е, F — свободные модули размерности над R с базисами а соответственно. Линейное отображение тогда и только тогда является изоморфизмом, когда определитель ассоциированной с ним матрицы есть единица в

Доказательство. Пусть По определению будет изоморфизмом в том и только в том случае, если существует линейное отображение такое, чтоо Если — изоморфизм и то . Беря определитель произведения, заключаем, что элемент обратим в R. Обратно, если — единица, то в силу предложения 7 мы можем определить матрицу Эта матрица ассоциирована с некоторым линейным отображением обратным к что и требовалось установить.

Наконец, введем понятие определителя эндоморфизма.

Пусть Е — свободный модуль над R и — его базис. Пусть - эндоморфизм модуля Е. Положим

Если — другой базис для Е и то существует обратимая матрица N, такая, что

Беря определитель, мы видим, что . Следовательно, этот определитель не зависит от выбора базиса; он будет называться определителем линейного отображения Ниже мы дадим характеризацию этого определителя, не зависящую от выбора базиса.

Пусть Е — произвольный модуль. Мы можем рассматривать как функтор от переменной Е (контравариантный). Далее, мы можем рассматривать как функтор от двух переменных, контравариантный по первой и ковариантный по второй переменной. Действительно, пусть

— линейное отображение.

Всякому полилинейному отображению можно сопоставить композицию

где есть произведение на себя раз. Отображение

задаваемое правилом

очевидно, линейно, и оно определяет наш функтор. Мы будем иногда писать вместо

Рассматривая, в частности, случай, когда , получим индуцированное отображение

Предложение 10. Пусть Е — свободный модуль размерности над — базис в . Пусть — эндоморфизм модуля Е. Тогда

Доказательство. Это непосредственное следствие теоремы 1. А именно пусть А (или ) — матрица эндоморфизма относительно некоторого базиса модуля Е. По определению

в силу теоремы 1 правая часть равна

Согласно следствию 1 теоремы 1, заключаем, что поскольку обе эти формы принимают одинаковое значение на