§ 5. Векторные пространства

Модуль над полем называется векторным пространством.

Теорема 2. Пусть V — векторное пространство над полем К, причем Пусть Г — множество образующих для V над К a S — некоторое линейно независимое подмножество в Г. Тогда в V существует базис такой, что

Доказательство. Пусть X — множество, элементами которого служат подмножества Т из Г, содержащие S и линейно независимые. Тогда не пусто (оно содержит S). Мы утверждаем, что X индуктивно упорядочено. Действительно, если - совершенно упорядоченное подмножество в Т (упорядоченность по включению), то подмножество также линейно независимо и содержит S. Пусть — максимальный элемент в существующий по лемме Цорна. Тогда линейно независимо. Пусть -подпространство в V, порожденное Если , то существует некоторый элемент такой, что Тогда линейно независимо. Действительно, если

то мы должны иметь потому что иначе

Так как в свою очередь линейно независимо, то для всех это и доказывает, что линейно независимо вопреки максимальности . Отсюда следует, что и, кроме того, что непусто, так как Теорема доказана.

В частности, мы видим, что если - векторное пространство то всякое множество линейно независимых элементов может быть расширено до базиса, при этом базис может быть выбран из любого данного множества образующих.

Теорема 3. Пусть V — векторное пространство над полем К? Тогда любые два базиса V над К имеют одинаковую мощность.

Доказательство. Предположим сначала, что в V существует базис из конечного числа элементов, скажем . Докажем, что любой другой базис должен также состоять из элементов. Для этого достаточно доказать следующее: если элементы из V, линейно независимые над К, то (так как затем мы можем использовать симметрию). Доказываем по индукции. В К существуют элементы для которых

причем хотя бы один из них, скажем отличен от 0. Тогда лежит в подпространстве, порожденном над К элементами и, следовательно, это подпространство совпадает с V.

Кроме того, линейно независимы. Действительно, предположим, что — такие элементы из К, что

Если , то разделим это равенство на и выразим в виде линейной комбинации элементов Вычитание ее из (1) дало бы тогда соотношение линейной зависимости между что невозможно. Следовательно, , а тогда и все , так как линейно независимы.

Предположим по индукции, что после подходящей перенумерации мы нашли , для которых совокупность

будет базисом в V. Представим в виде линейной комбинации

где . Коэффициенты при в этом соотношении не все равны нулю, так как иначе существовала бы линейная зависимость между . Скажем, . Применяя рассуждение, аналогичное использованному выше, мы можем заменить на и вновь получить базис V. Это означает, что мы можем повторять эту процедуру до тех пор, пока не станет , а потому и доказывает нашу теорему.

Общий случай бесконечного базиса мы предоставляем в качестве упражнения читателю. [Указание, использовать тот факт, что любое конечное число элементов одного базиса содержится в пространстве, порожденном конечным числом элементов другого

Если векторное пространство V обладает базисом из конечного числа элементов, скажем из , то мы будем говорить, что V конечномерно и что — его размерность.

В силу теоремы 3 мы видим, что есть число элементов любого базиса V. Если , то мы полагаем его размерность равной 0 и говорим, что -мерно. Сокращенно размерность обозначается через или если для ясности необходима ссылка на поле К.

Имея дело с векторными пространствами, мы употребляем слова подпространство и факторпространство вместо подмодуль и фактор-модуль.

Теорема 4. Пусть V — векторное пространство над полем К, W — его подпространство. Тогда

Если — гомоморфизм векторных пространств над К, то

Доказательство. Первое утверждение является частным случаем второго, когда в качестве взято каноническое отображение. Пусть — базис в и — базис в . Возьмем семейство элементов из V, такое, что для каждого . Мы утверждаем, что

будет базисом для V. Этим, очевидно, завершается доказательство нашего утверждения.

Пусть — элемент из V. Тогда существуют элементы в К, почти все равные 0 и такие, что

Следовательно, . Значит,

лежит в ядре , а потому существуют элементы в К, почти все равные 0 и такие, что

Отсюда находим, что порождает V. Остается показать, что семейство линейно независимо. Предположим, что существуют элементы , такие, что

Применяя получаем

откуда все . Отсюда тотчас заключаем, что все и, следовательно, наше семейство является базисом для V над К, что и требовалось показать.

Следствие. Пусть V — векторное пространство и W — его подпространство. Тогда

Если V конечномерно и

Доказательство. Очевидно.