§ 4. Теорема Нётера о нормализации

Теорема 6. Пусть — конечно порожденное целостное кольцо над полем k, причем имеет степень трансцендентности . Тогда в существуют элементы такие, что кольцо — целое над

Доказательство. Если уже алгебраически независимы над k, то все доказано. Если нет, то имеется нетривиальное соотношение

в котором каждый коэффициент Сумма берется по конечному числу различных - наборов целых чисел . Пусть — целые положительные числа. Положим

и подставим в предыдущее уравнение. Используя векторные обозначения, положим и введем скалярное произведение . Развернув соотношение после указанной подстановки, получим

где — многочлен, в котором не встречаются чистые степени Выберем теперь целое число d достаточно большим [скажем, большим, чем любая компонента вектора (у), для которого и возьмем

Тогда все различны для тех (у), для которых . Тем самым мы получаем целое уравнение для над

Так как каждый из содержится в то кольцо целое над . Мы можем теперь продолжать по индукции и, используя транзитивность целых расширений, уменьшать число игреков до тех пор, пока не дойдем до алгебраически независимого множества игреков.