Глава IX. Расширения колец

В этой главе слово «кольцо» будет обозначать «коммутативное кольцо».

§ 1. Целые расширения колец

В гл. VII и VIII мы изучали алгебраические расширения полей. По целому ряду причин желательно исследовать также алгебраические расширения колец. Например, данный многочлен с целыми коэффициентами, скажем можно привести по модулю любого простого числа и получить таким образом многочлен с коэффициентами в конечном поле. В качестве другого примера рассмотрим многочлен

где алгебраически независимы над полем k. Этот многочлен имеет коэффициенты в а после подстановки вместо элементов из k получается многочлен с коэффициентами в А. В общем можно получать информацию о многочленах, беря гомоморфизм кольца, в котором лежат их коэффициенты. Эта глава посвящена краткому описанию основных фактов, касающихся многочленов над кольцами.

Пусть А—кольцо и М — А-модуль. Мы будем говорить, что модуль М точный, если равенство , возможно только при . Отметим, что А является точным модулем над собой, поскольку А содержит единичный элемент. Кроме того, если , то точный модуль над А не может быть модулем, состоящим только из нуля.

Пусть А — подкольцо кольца В и Следующие условия эквивалентны:

ЦЕЛ 1. Элемент а есть корень многочлена

степени с коэффициентами (Существенным моментом здесь является то, что старший коэффициент равен 1.)

ЦЕЛ 2. Подколъцо — конечно порожденный А-модуль.

ЦЕЛ 3. Существует точный модуль над являющийся конечно порожденным А-модулем.

Докажем их эквивалентность. Предположим, что выполняется ЦЕЛ 1. Пусть многочлен из степени -1 со старшим коэффициентом 1, для которого . Если то

где . Следовательно, и мы видим, что если то являются образующими как модуля над А.

Уравнение , где g — многочлен описанного выше вида, для которого называется целым уравнением для а над А.

Предположим, что выполняется ЦЕЛ 2. Тогда в качестве точного модуля мы можем взять само кольцо

Предположим, что выполняется ЦЕЛ 3, и пусть М — точный модуль над конечно порожденный над А, скажем, элементами . Так как , то существуют элементы такие, что

Перенося в правые части этих уравнений, мы приходим к заключению, что определитель

аннулирует (Это будет доказано в главе, в которой мы рассматриваем определители.) Так как модуль М точный, то должно выполняться равенство Следовательно, а есть корень многочлена

дающего целое уравнение для а над А.

Элемент а, удовлетворяющий трем предыдущим условиям ЦЕЛ 1, 2, 3, называется целым над А.

Предл ожение 1. Пусть А — целое кольцо, К — его поле частных и а — алгебраический элемент над К. Тогда в А существует элемент такой, что — целый элемент над А.

Доказательство. Имеем уравнение

где . Умножим его на . Тогда

будет целым уравнением для над А.

Пусть А, В — подкольца кольца С, и пусть . Если а — целый элемент над А и А с В, то тем более а — целый элемент над В. Таким образом, целость элемента сохраняется при подъеме.

Пусть В — кольцо, содержащее А в качестве подкольца. Мы будем говорить, что В — целое над А, если всякий элемент из В является целым над А.

Предложение 2. Если В — целое кольцо над А, конечно порожденное как А-алгебра, то В конечно порождено и как А-модуль.

Доказательство. Это предложение можно доказывать индукцией по числу кольцевых образующих и, таким образом, учитывая наличие башни

предполагать, что для некоторого элемента а, целого над А. Но, как мы уже видели, в этом случае наше утверждение верно (это составляет часть определения целости).

Так же как для расширений полей, мы можем говорить, что класс расширений колец А с: В является отмеченным, если он удовлетворяет аналогичным свойствам, а именно:

(i) Пусть — башня колец. Расширение тогда и только тогда принадлежит когда принадлежит и принадлежит

(ii) Если принадлежит — любое расширение кольца А, причем В, С оба являются подкольцами некоторого кольца, то принадлежит . (Отметим, что есть наименьшее кольцо, содержащее и .)

Как и для полей, мы в качестве формального следствия из получаем, что выполняется также и свойство

(iii) Если принадлежат , причем В, С — подкольца некоторого кольца, то принадлежит

Предложение 3. Целые расширения колец образуют отмеченный класс.

Доказательство. Пусть — башня колец. Если С — целое над А, то ясно, что В — целое над А и С — целое над В

Обратно, предположим, что каждый этаж в башне целый. Пусть . Тогда а удовлетворяет целому уравнению

где . Положим . Тогда согласно предложению 2, будет конечно порожденным А-модулем и — конечно порожденным -модулем. Так как то — точный

А [-модуль. Наконец, есть конечно порожденный А-модуль.

Действительно, если — образующие над А и образующие над то порождают над А. Следовательно, кольцо С—целое над А. Наконец, пусть В, С — кольца, являющиеся расширениями А, причем В — целое над А. Предположим, что В, С — подкольца некоторого кольца. Тогда порождается над С элементами из В, а каждый элемент из В является целым над С. То, что является целым над С, непосредственно вытекает теперь из следующего предложения.

Предложение 4. Пусть А — подкольцо кольца С. Тогда элементы из С, целые над А, образуют подкольцо в С.

Доказательство. Если a — целый элемент над А, то — целое расширение А, поскольку для любого конечно порожденный -модуль является точным А -модулем. Пусть теперь а, целые элементы над А. Рассмотрим башню . Каждый этаж в этой башне является целым, а потому, согласно первой части доказательства предложения 3, А -целое расширение А. Следовательно, а — целые элементы над А, что и доказывает наше предложение.

В условиях предложения 4 множество элементов из С, целых над А, называется целым замыканием кольца А в С.

Предложение S. Пусть В — целое кольцо над А и а — его гомоморфизм. Тогда кольцо — целое над .

Доказательство. Пусть и

— целое уравнение для а над А. Применение о дает

что и доказывает наше утверждение.

Следствие. Пусть А — целостное кольцо, k — его поле частных, Е — конечное расширение над k и — целый элемент над А.

Тогда норма и след элемента являются целыми над А и таковы же коэффициенты неприводимого многочлена над k, соответствующего а.

Доказательство. Для всякого вложения поля Е над k элемент является целым над А. Так как норма — это произведение элементов по всем таким (возведенное в степень, равную некоторой степени характеристики), то норма — целый элемент над А. Аналогичное верно для следа и для коэффициентов многочлена , которые являются элементарными симметрическими функциями от его корней.

Пусть А — целостное кольцо — его поле частных. Мы будем говорить, что А целозамкнуто, если оно совпадает со своим целым замыканием в

Предложение 6. Всякое факториальное кольцо А целозамкнуто.

Доказательство. Предположим, что имеется дробь , целая над А, и простой элемент в А, делящий b, но не делящий а. Тогда для некоторого целого числа

откуда

Так как элемент делит b, то он должен делить а следовательно, и а — противоречие.

Пусть — гомоморфизм колец — коммутативные кольца). Напомним, что такой гомоморфизм называется также А-ал-геброй. Мы можем рассматривать В как -модуль. Будем говорить, что В — целое над А (относительно этого кольцевого гомоморфизма ), если В—целое над . Это расширение нашего определения целости полезно, так как в некоторых приложениях имеют место отклонения от обычной ситуации, а мы тем не менее хотим говорить о целости. Более точно, нам следовало бы говорить, что не В является целым над А, а что есть целый гомоморфизм колец или, просто, — целый. Мы будем часто использовать эту терминологию.

Некоторые из наших предыдущих предложений непосредственно дают следствия для целых гомоморфизмов колец; например, если целые, то целый. Однако, вообще говоря, не верно, что если целый, то целый и

Пусть — целый гомоморфизм и S — мультипликативное подмножество в А. Тогда имеет место гомоморфизм

где, строго говоря, определяется по формуле

Проверка того, что это гомоморфизм, тривиальна. Имеет место коммутативная диаграмма

горизонтальными отображениями в которой служат канонические отображения

Предложение 7. Пусть гомоморфизм и S — мультипликативное подмножество в А. Тогда гомоморфизм — целый.

Доказательство. Для будем писать вместо соответственно. Так как всякий элемент -целый над f (А), то имеем

где Беря канонический образ в и деля почленно на получаем

это доказывает, что элемент является целым над .

Предложение 8. Пусть А — целостное и целозамкнутое кольцо, S — мультипликативное подмножество в . Тогда целозамкнуто.

Доказательство. Пусть a — элемент поля частных, целый над Имеем уравнение

. Пусть s равно произведению . Тогда ясно, что элемент — целый над А и, следовательно, лежит в А. Значит, а лежит в и кольцо целозамкнуто.

Лемма Накаямы. Пусть А — кольцо, -идеал, содержащийся во всех максимальных идеалах кольца А, и М — конечно порожденный А-модуль. Если то .

Доказательство. Индукция по числу образующих М. Пусть, скажем, М порождается элементами Существует представление

где . Следовательно,

Если элемент не является единицей в А, то он содержится в некотором максимальном идеале . Так как по предположению, то мы получаем противоречие: 1 Следовательно, единица, и предыдущее равенство, разделенное на этот элемент, показывает, что модуль М может быть порожден элементами, чем и завершается доказательство.

Пусть — простой идеал кольца А и S — дополнение к в А. Мы пишем в этом случае Если - есть А-алгебра (т. е. гомоморфизм колец), то будем писать вместо Мы можем рассматривать как -модуль.

Пусть А — подкольцо в — простой идеал в А и — простой идеал в В. Мы будем говорить, что лежит над , если . В этом случае вложение индуцирует вложение факторколец

и по существу мы имеем коммутативную диаграмму

в которой горизонтальные стрелки обозначают канонические гомоморфизмы, а вертикальные — вложения.

Если кольцо В — целое над А, то — целое над согласно предложению S.

Предложение 9. Пусть А — подкольцо в - простой идеал в А, причем кольцо В — целое над А. Тогда и существует простой идеал в В, лежащий над .

Доказательство. Мы знаем, что — целое над и что — локальное кольцо с максимальным идеалом где Так как, очевидно,

наше первое утверждение достаточно доказать для случая, когда А - локальное кольцо. (Отметим, что существование простого идеала влечет, что тогда и только тогда, когда

Если , то представляется в виде линейной комбинации элементов из В с коэффициентами в

где . Пусть . Тогда - конечный А-модуль в силу предложения 2. Следовательно, в силу леммы Накаямы, — противоречие.

Чтобы доказать наше второе утверждение, рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:

Мы только что доказали, что . Следовательно, содержится в некотором максимальном идеале кольца Переходя к прообразам, мы видим, что прообраз ЗК в есть идеал, содержащий . Так как идеал максимальный, то . Пусть прообраз в В. Тогда — простой идеал в В. Прообраз в А есть просто . Беря полный прообраз по обоим путям в диаграмме, находим

что и требовалось показать.

Предложение 10. Пусть А — подкольцо в В, причем кольцо В — целое над А. Простой идеал в В, лежащий над простым идеалом кольца А, максимален в том и только в том случае, если максимален.

Доказательство. Предположим, что максимален в А. Тогда — поле и - целостное кольцо, целое над Если то элемент а алгебраичен над а мы знаем, что тогда — поле. Следовательно, всякий ненулевой элемент из обратим в кольце которое поэтому является полем. Обратно, предположим, что — максимальный идеал в В. Тогда поле, целое над целостным кольцом . Если — не поле, то оно содержит ненулевой максимальный идеал т. В силу предложения 9 в существует простой идеал Ж, лежащий над , — противоречие.