§ 2. Характеры

Пусть — некоторое представление. Под характером этого представления мы будем понимать -значную функцию

такую, что . Для всех . След здесь — это след эндоморфизма, определенный в гл. XIII, § 2. При выбранном базисе для Е над он равен следу матрицы, представляющей т. е. сумме ее диагональных элементов. Как мы уже видели раньше, след не зависит от выбора базиса. Иногда мы вместо будем писать Мы будем также называть Е пространством представления .

Под тривиальным (или единичным) характером мы будем понимать характер представления группы G на -пространстве, равном самому при котором для всех . Это функция, принимающая значение 1 на всех элементах из . Мы будем обозначать ее через а также через , если нам нужно будет подчеркнуть зависимость от

Отметим, что характеры являются функциями на и что значения характера на элементах из определяются его значениями на (продолжение с на производится по -линейности).

Мы будем говорить, что два представления группы на пространствах Е, F изоморфны, если между Е и F существует -изоморфизм. Очевидно, что если — изоморфные представления, то их характеры равны. (Иными словами, если Е, F суть -изоморфные -пространства, то ) Во всем дальнейшем мы будем интересоваться только классами представлений относительно изоморфизма.

Если Е, -пространства, то их прямая сумма также является -пространством с покомпонентным действием G. Если где то

Аналогично тензорное произведения есть -пространство с действием G, задаваемым формулой

Предложение 2. Для любых -пространств

Доказательство. Первое соотношение выполняется ввиду того, что матрица элемента о в представлении разлагается на блоки, соответствующие представлению в Е и представлению в F. Что касается второго соотношения, то, как мы знаем базис где — базис F над Пусть -матрица элемента а относительно базиса пространства Е и (-его матрица относительно базиса пространства F. Тогда

По определению

что и доказывает наше предложение.

Пусть — представления G на Е и F соответственно. Мы определяем сумму как описанное выше представление на

Очевидно, что сумма характеров есть характер суммы представлений. В частности, характеры , ассоциированные с представлениями на -пространствах, образуют моноид.

Аналогично мы определяем произведение как представление, ассоциированное с тензорным произведением пространств представления для соответственно. Таким образом, аддитивный моноид характеров, ассоциированных с представлениями, обладает мультипликативной структурой, которая дистрибутивна по отношению к сложению.

До сих пор у нас фигурировало понятие характера, ассоциированного с представлением. Естественно теперь рассматривать линейные комбинации таких характеров не только с положительными целочисленными коэффициентами. Таким образом, под (обобщенным) характером группы G мы будем понимать всякую функцию на G, которая может быть записана в виде линейной комбинации характеров представлений с произвольными целочисленными коэффициентами. Характеры, ассоциированные с представлениями, будут называться собственными характерами. Все, что мы определили, зависит, конечно, от поля k, и если нам будет нужно специально отметить поле k, мы будем к нашим высказываниям добавлять

Заметим, что, согласно предложению 2, характеры образуют кольцо. В дальнейшем мы будем использовать преимущественно аддитивную, а не мультипликативную структуру.

Под простым (или неприводимым) характером группы G понимают характер простого представления (т. е. характер, ассоциированный с простым -модулем).

Принимая во внимание теорему 1 и результаты предыдущей главы, касающиеся структуры простых и полупростых модулей над полупростым кольцом (гл. XVII, § 4), получаем следующее утверждение.

Теорема 2. Существует лишь конечное число простых характеров группы G (над k). Характеры представлений G являются линейными комбинациями простых характеров с целочисленными коэффициентами

Мы будем использовать разложение полупростого кольца в прямое произведение

где каждое — простое кольцо. Мы имеем также соответствующее разложение единичного элемента из

где единичный элемент из при

Точно так же при . Отметим, что зависит от k.

Если — какой-нибудь типический простой модуль для (скажем, один из простых левых идеалов), то мы обозначаем через характер представления на

Заметим, что для всех при . Это фундаментальное соотношение ортогональности, и, хотя оно и очевидно, из него будут следовать все наши другие соотношения.

Теорема 3. Предположим, что k имеет характеристику 0. Тогда всякий собственный характер имеет единственное представление в виде линейной комбинации

где -простые характеры G над k. Два представления изоморфны в том и только в том случае, если ассоциированные с ними характеры равны.

Доказательство. Пусть Е — пространство представления характера Тогда в силу теоремы 3 из гл. XVII, § 4,

Сумма конечная, поскольку мы неизменно предполагаем, что Е конечномерно. Так как действует на как единичный элемент, то

Мы уже видели, что если Следовательно,

Так как зависит только от структуры групповой алгебры, то мы получили способ находить значения кратностей . А именно, — число раз, с которым входит (с точностью до изоморфизма) в пространство представления характера — равно значению разделенному на (мы находимся в характеристике 0). Это доказывает нашу теорему.

Мы называем числа участвующие в теореме 3, кратностями h в X.

В обоих следствиях мы продолжаем предполагать, что k имеет характеристику 0.

Следствие 1. Простые характеры

как функции на G со значениями в k линейно независимы над к.

Доказательство. Предположим, что , где Применив это выражение , получим

Следовательно, для всех

В случае характеристики 0 мы называем размерностью собственного характера размерность ассоциированного пространства представления.

Следствие 2. Функция есть гомоморфизм моноида собственных характеров в

Пример. Пусть — циклическая группа с образующей о, порядок которой равен простому числу . Рассмотрим групповую алгебру Пусть

Тогда для любого и, следовательно, — идемпотентный элемент. Отсюда вытекает, что . Поле изоморфно Q. Пусть . Тогда . Положим . Так как элемент и удовлетворяет неприводимому уравнению

над , то изоморфно полю, полученному присоединением к полю рациональных чисел примитивного корня степени из единицы. Следовательно, обладает разложением в прямое произведение

где - примитивный корень степени из единицы.

В качестве другого примера рассмотрим любую конечную группу . Пусть

Тогда для любого имеем . Если мы положим то Таким образом, мы получаем, что для любого поля k (характеристика которого, согласно принятым соглашениям, не делит порядок )

является разложением в прямое произведение. В частности, представление на самой групповой алгебре содержит одномерное представление на компоненте с тривиальным характером.