Главная > Алгебра
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Примарное разложение

Мы продолжаем предполагать, что А — коммутативное кольцо и что модули (соответственно гомоморфизмы) — это А-модули (соответственно А-гомоморфизмы), если не оговорено противное.

Пусть М — модуль. Подмодуль Q в М называется примарным, если и если для любого данного гомоморфизм либо инъективен, либо нильпотентен. Рассматривая А как модуль над собой, мы получаем, что идеал q примарен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующему условию:

Пусть Q — примарный подмодуль и — идеал, состоящий из всех элементов для которых нильпотентен. Тогда — простой идеал. Действительно, предположим, что a, Тогда инъективен и, следовательно, инъективен для всех Из нильпотентности теперь вытекает, что должен быть нильпотентен и, следовательно, что . Этим доказано, что идеал простой. Мы будем называть простым идеалом, соответствующим Q, а также говорить, что Q -примарен).

Предложение 12. Пусть М — модуль, — подмодули, - примарные для одного и того же простого идеала . Тогда подмодуль также -примарен.

Доказательство. Положим . Пусть и пусть таковы, что для каждого обозначим через максимум из . Тогда так что нильпотентен. Обратно, предположим, что . Пусть для некоторого у. Тогда для всех положительных и, следовательно, инъективен. Это доказывает наше предложение.

Пусть N — подмодуль в М. Если N представлен в виде конечного пересечения примарных подмодулей, скажем

то мы будем называть это представление примарным разложением подмодуля N. Используя предложение 12, мы видим, что, сгруппировав по их простым идеалам, мы всегда можем получить из данного примарного разложения другое, в котором простые идеалы, соответствующие примарным подмодулям, все различны. Примарное разложение подмодуля N, в котором простые идеалы соответствующие различны, причем N не может быть представлен в виде пересечения собственного подсемейства примарных подмодулей будет называться несократимым.

Вычеркивая некоторые из примарных модулей, участвующих в данном разложении, мы находим, что если подмодуль N обладает каким-то примарным разложением, то он обладает и несократимым разложением. Мы докажем сейчас результат, дающий некоторое свойство единственности несократимого примарного разложения.

Пусть — несократимое примарное разложение, причем соответствует Если не содержит никакого то мы говорим, что изолирован. Изолированные простые идеалы — это, таким образом, те простые идеалы, которые минимальны в множестве простых идеалов, соответствующих примарным модулям

Теорема 3. Пусть N — подмодуль в М, и пусть

— два его несократимых примарных разложения. Тогда Множество простых идеалов, соответствующих одно и то же. Если — множество изолированных простых идеалов, соответствующих этим разложениям, то для другими словами, примарные модули, принадлежащие изолированным простым идеалам, однозначно определены.

Доказательство. Предположим, что, после возможной перестановки индексов, максимален в множестве простых идеалов, соответствующих примарным модулям Q и и что для . Тогда существует такой элемент что

Пусть целое число, для которого . Обозначим через N модуль элементов таких, что . Мы утверждаем, что . Ясно, что

Обратно, если для некоторого 1, то поскольку . Следовательно, . Те же рассуждения показывают, что если . для , то

вопреки предположению, что наше представление N в виде пересечения примарных модулей несократимо. Это доказывает, что встречается в множестве скажем а также, что

Остается доказать единственность примарного модуля, принадлежащего изолированному простому идеалу, скажем . По определению для каждого существует . Пусть — произведение этих элементов. Тогда для всех , но . Мы можем найти целое число такое, что для . Пусть

Мы утверждаем, что для всех достаточно больших . Этим будет доказана искомая единственность. Пусть . Тогда так что . Обратно, пусть так что и, в частности, . Так как по определению инъективен. Следовательно, и тем самым наша теорема доказана.

Теорема 4. Всякий подмодуль N нётерова модуля М обладает примарным разложением.

Доказательство. Рассмотрим множество подмодулей в М, не обладающих примарным разложением. Если это множество не пусто, то ввиду нбтеровости М оно имеет максимальный элемент, который мы обозначим через N.

Подмодуль N не примарен, т. е. существует такое, что ни инъективен, ни нильпотентен. Возрастающая последовательность модулей

стабилизируется, скажем, на Обозначим эндоморфизм

через . Тогда . Следовательно, и ни ядро, ни образ не равны 0. Веря прообраз в М, мы видим, что N есть пересечение двух подмодулей в М, не равных N. Из максимальности N заключаем, что каждый из этих подмодулей допускает примарное разложение, а потому и N допускает примарное разложение — противоречие.

Мы закончим наше рассмотрение установлением связи между простыми идеалами, принадлежащими примарному разложению, и ассоциированными простыми идеалами, обсуждавшимися в предыдущем параграфе.

Предложение 13. Пусть А и М. нётеровы. Подмодуль Q в М примарен тогда и только тогда, когда с ассоциируется в точности один простой идеал ; в этом случае соответствует Q, т. е. Q -примарен.

Доказательство. Это непосредственное следствие определений и следствия предложения 10.

Теорема 5. Пусть А и М нётеровы. Ассоциированные с модулем М простые идеалы — это в точности простые идеалы, соответствующие примарным модулям в несократимом примарном разложении 0 в М. В частности, множество ассоциированных с модулем М простых идеалов конечно.

Докамтельство. Пусть

— несократимое примарное разложение 0 в . Имеет место инъективный гомоморфизм

В силу предложения 11 из § 4 и предложения 13 мы заключаем, что всякий ассоциированный с М простой идеал соответствует некоторому Обратно, пусть Тогда , поскольку наше разложение несократимо. Имеем

Итак, N изоморфен подмодулю в и, следовательно, обладает ассоциированным простым идеалом, который не может быть ничем иным, как простым идеалом соответствующим . Это доказывает нашу теорему.

1
Оглавление
email@scask.ru