§ 5. Примарное разложение

Мы продолжаем предполагать, что А — коммутативное кольцо и что модули (соответственно гомоморфизмы) — это А-модули (соответственно А-гомоморфизмы), если не оговорено противное.

Пусть М — модуль. Подмодуль Q в М называется примарным, если и если для любого данного гомоморфизм либо инъективен, либо нильпотентен. Рассматривая А как модуль над собой, мы получаем, что идеал q примарен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующему условию:

Пусть Q — примарный подмодуль и — идеал, состоящий из всех элементов для которых нильпотентен. Тогда — простой идеал. Действительно, предположим, что a, Тогда инъективен и, следовательно, инъективен для всех Из нильпотентности теперь вытекает, что должен быть нильпотентен и, следовательно, что . Этим доказано, что идеал простой. Мы будем называть простым идеалом, соответствующим Q, а также говорить, что Q -примарен).

Предложение 12. Пусть М — модуль, — подмодули, - примарные для одного и того же простого идеала . Тогда подмодуль также -примарен.

Доказательство. Положим . Пусть и пусть таковы, что для каждого обозначим через максимум из . Тогда так что нильпотентен. Обратно, предположим, что . Пусть для некоторого у. Тогда для всех положительных и, следовательно, инъективен. Это доказывает наше предложение.

Пусть N — подмодуль в М. Если N представлен в виде конечного пересечения примарных подмодулей, скажем

то мы будем называть это представление примарным разложением подмодуля N. Используя предложение 12, мы видим, что, сгруппировав по их простым идеалам, мы всегда можем получить из данного примарного разложения другое, в котором простые идеалы, соответствующие примарным подмодулям, все различны. Примарное разложение подмодуля N, в котором простые идеалы соответствующие различны, причем N не может быть представлен в виде пересечения собственного подсемейства примарных подмодулей будет называться несократимым.

Вычеркивая некоторые из примарных модулей, участвующих в данном разложении, мы находим, что если подмодуль N обладает каким-то примарным разложением, то он обладает и несократимым разложением. Мы докажем сейчас результат, дающий некоторое свойство единственности несократимого примарного разложения.

Пусть — несократимое примарное разложение, причем соответствует Если не содержит никакого то мы говорим, что изолирован. Изолированные простые идеалы — это, таким образом, те простые идеалы, которые минимальны в множестве простых идеалов, соответствующих примарным модулям

Теорема 3. Пусть N — подмодуль в М, и пусть

— два его несократимых примарных разложения. Тогда Множество простых идеалов, соответствующих одно и то же. Если — множество изолированных простых идеалов, соответствующих этим разложениям, то для другими словами, примарные модули, принадлежащие изолированным простым идеалам, однозначно определены.

Доказательство. Предположим, что, после возможной перестановки индексов, максимален в множестве простых идеалов, соответствующих примарным модулям Q и и что для . Тогда существует такой элемент что

Пусть — целое число, для которого . Обозначим через N модуль элементов таких, что . Мы утверждаем, что . Ясно, что

Обратно, если для некоторого 1, то поскольку . Следовательно, . Те же рассуждения показывают, что если . для , то

вопреки предположению, что наше представление N в виде пересечения примарных модулей несократимо. Это доказывает, что встречается в множестве скажем а также, что

Остается доказать единственность примарного модуля, принадлежащего изолированному простому идеалу, скажем . По определению для каждого существует . Пусть — произведение этих элементов. Тогда для всех , но . Мы можем найти целое число такое, что для . Пусть

Мы утверждаем, что для всех достаточно больших . Этим будет доказана искомая единственность. Пусть . Тогда так что . Обратно, пусть так что и, в частности, . Так как по определению инъективен. Следовательно, и тем самым наша теорема доказана.

Теорема 4. Всякий подмодуль N нётерова модуля М обладает примарным разложением.

Доказательство. Рассмотрим множество подмодулей в М, не обладающих примарным разложением. Если это множество не пусто, то ввиду нбтеровости М оно имеет максимальный элемент, который мы обозначим через N.

Подмодуль N не примарен, т. е. существует такое, что ни инъективен, ни нильпотентен. Возрастающая последовательность модулей

стабилизируется, скажем, на Обозначим эндоморфизм

через . Тогда . Следовательно, и ни ядро, ни образ не равны 0. Веря прообраз в М, мы видим, что N есть пересечение двух подмодулей в М, не равных N. Из максимальности N заключаем, что каждый из этих подмодулей допускает примарное разложение, а потому и N допускает примарное разложение — противоречие.

Мы закончим наше рассмотрение установлением связи между простыми идеалами, принадлежащими примарному разложению, и ассоциированными простыми идеалами, обсуждавшимися в предыдущем параграфе.

Предложение 13. Пусть А и М. нётеровы. Подмодуль Q в М примарен тогда и только тогда, когда с ассоциируется в точности один простой идеал ; в этом случае соответствует Q, т. е. Q -примарен.

Доказательство. Это непосредственное следствие определений и следствия предложения 10.

Теорема 5. Пусть А и М нётеровы. Ассоциированные с модулем М простые идеалы — это в точности простые идеалы, соответствующие примарным модулям в несократимом примарном разложении 0 в М. В частности, множество ассоциированных с модулем М простых идеалов конечно.

Докамтельство. Пусть

— несократимое примарное разложение 0 в . Имеет место инъективный гомоморфизм

В силу предложения 11 из § 4 и предложения 13 мы заключаем, что всякий ассоциированный с М простой идеал соответствует некоторому Обратно, пусть Тогда , поскольку наше разложение несократимо. Имеем

Итак, N изоморфен подмодулю в и, следовательно, обладает ассоциированным простым идеалом, который не может быть ничем иным, как простым идеалом соответствующим . Это доказывает нашу теорему.