УПРАЖНЕНИЯ

Во всех упражнениях «кольцо» означает «коммутативное кольцо».

1. Пусть А — кольцо, а — идеал, содержащийся во всяком максимальном идеале, и В — рнечно пфюжденный А-модуль. Если , то . [Указание: индукция по числу образующих. Выразить одну образующую через другие, используя тот факт, что 1 а есть единица при . См. лемму Накаямы в гл. IX.] Это утверждение применимо, в частности, к случаю, когда А — о — локальное кольцо и — его максимальный идеал. Получить следующие два утверждения в качестве следствий:

Пусть Е — конечно порожденный -модуль и F — его подмодуль. Если то

Если — образующие для то они служат образующими для над .

2. (Артин — Рис) Пусть А — нётерово кольцо, а — идеал, Е — конечно порожденный модуль и -подмодуль. Тогда существует целое число G, такое, что для всех имеем [Указаниг: пусть Если — образующие идеала а, то — образующие кольца которое поэтому нётерово. Определить очевидным способом как модуль и аналогично определить Пусть . Тогда — конечно порожденный А-модуль и имеет конечное число образующих, включающих лишь конечное число степеней t. Пусть — наибольшая из них; тогда

Сравнение коэффициентов при для s дает

откуда немедленно следует искомый

В условиях предыдущего упражнения предположим, что а содержится во всяком максимальном идеале кольца А. Тогда [Указание: положить и применить лемму ] В частности, пусть — нетерово локальное кольцо и — его максимальный идеал. Тогда

4. Пусть А — коммутативное кольцо, М — модуль, N — подмодуль и — его примарное разложение. Положим . Показать, что — примарное разложение 0 в . Сформулировать и доказать обратное утверждение.

5. Пусть — простой идеал и а, Б — идеалы в А. Показать, что если , то или .

6. Пусть q — примарный идеал, и пусть — идеалы, удовлетворяющие условию с q. Предположим, что идеал В конечно порожден. Показать, что либо либо существует положительное целое число , такое, что

7. Пусть А — нётерово кольцо и - примарный идеал. Показать, что существует , такое, что

8. Пусть А — произвольное коммутативное кольцо, S — мультипликативное подмножество, — простой идеал и q — -примарный идеал. Тогда пересекает S в том и только в том случае, если q пересекает S. Кроме того, если q не пересекает S, то будет -примарным идеалом в

9. Пусть где a — идеал в А. Если — каноническое отображение, то сокращенно обозначаем через хотя бы и не было инъективным. Показать, что между простыми идеалами из А, не пересекающимися с S, и простыми идеалами из существует взаимно однозначное соответствие

Доказать аналогичное утверждение с заменой простых идеалов на примерные.

10. Пусть — несократимое примарное разложение идеала. Предположим, что не пересекают S, а q при пересекают S. Показать, что

— несократимое примарное разложение идеала

11. Предположим, что кольцо А нётерово. Показать, что множество делителей нуля в А является теоретико-множественным объединением всех простых идеалов, соответствующих примарным идеалам в несократимом примерном разложении 0.