§ 11. Дуальная группа

Пусть А — абелева группа показателя Это означает, что для каждого элемента Пусть циклическая группа порядка т. Будем обозначать через А или через Нот группу гомоморфизмов группы А в и называть ее дуальной к А.

Пусть — гомоморфизм абелевых групп, причем обе группы имеют показатель . Тогда индуцирует гомоморфизм

Именно, для каждого полагаем Тривиально проверяется, что — гомоморфизм. Можно рассматривать как контравариантный функтор на категории абелевых групп показателя т. Действительно, свойства

проверяются тривиально.

Теорема 9. Если А — конечная абелева группа, представимая в виде произведения , то А изоморфна (сам изоморфизм описан ниже). Всякая конечная абелева группа изоморфна своей дуальной.

Доказательство. Рассмотрим две проекции

произведения на две его компоненты. Рассмотрим гомоморфизмы

Мы утверждаем, что эти гомоморфизмы индуцируют изоморфизм .

Действительно, пусть лежат в соответственно. Тогда пара и мы определим соответствующий ей элемент в (), положив

для . Таким образом, получаем гомоморфизм

Обратно, пусть Тогда

Функция определенная на В условием принадлежит В, и аналогично функция определенная на С условием , принадлежит С. Таким образом, получаем гомоморфизм

очевидно, обратный гомоморфизму, определенному перед этим. Следовательно, мы получаем изоморфизм, что и доказывает первое утверждение нашей теоремы.

Мы можем записать любую конечную абелеву группу как произведение циклических групп. Таким чтобы доказать второе утверждение, достаточно рассмотреть случай циклических групп.

Пусть А — циклическая группа, порожденная элементом периода . Тогда имеет ровно одну циклическую подгруппу порядка (упражнение 20). Если — гомоморфизм их — образующая для А, то ее период служит показателем для так что а следовательно и содержится в

Пусть у — образующая для Имеем изоморфизм

для которого Для каждого целого имеем гомоморфизм для которого

Таким образом, мы получаем циклическую подгруппу в А, состоящую из элементов Обратно, любой элемент из А однозначно определяется своим действием на образующую и должен переводить в один из элементов группы

Следовательно, совпадает с одним из отображений Эти отображения составляют всю группу А, которая, таким образом, является циклической группой порядка с образующей Это доказывает нашу теорему.

При рассмотрении дуальных групп мы используем различные реализации циклических групп Такие группы встречаются во многих приложениях, например группа комплексных корней степени из единицы или подгруппа порядка в и т. д.

Пусть А и А — две абелевы группы. Билинейное отображение произведения в абелеву группу С — это отображение

обозначаемое через

и обладающее следующим свойством: для каждого функция есть гомоморфизм и аналогично для каждого функция есть гомоморфизм.

Частным случаем билинейного отображения является отображение

которое каждой паре где , сопоставляет элемент из С.

Билинейное отображение называется также спариванием.

Элемент называется ортогональным (или перпендикулярным) подмножеству S в А, если для всех Ясно, что множество элементов , ортогональных к S, образует подгруппу в А. Аналогично определяются элементы из А, ортогональные к подмножествам в А.

Ядро слева нашего билинейного отображения — это подгруппа в А, ортогональная ко всей группе А. Аналогично определяем ядро справа.

Для заданного билинейного отображения обозначим через В, В его ядра слева и справа.

Всякий элемент из А определяет при помощи соответствия некоторый элемент из , который мы будем обозначать через Так как обращается в нуль на В, то мы видим, что, на самом деле, будет гомоморфизмом в С. Кроме того, если х, у — такие элементы из А, что

Следовательно, есть в действительности гомоморфизм

который инъективен, поскольку мы определили В как группу, ортогональную к Л. Аналогично мы получаем инъективный гомоморфизм

Предположим, что группа С — циклическая порядка от. Тогда для любого , откуда имеет показатель . Точно так же и имеет показатель .

Теорема 10. Пусть — билинейное отображение двух абелевых групп в циклическую группу С порядка и В, В — его ядра соответственно слева и справа. Предположим, что факторгруппа конечна. Тогда конечна и изоморфна дуальной группе группы (относительно нашего отображения ).

Доказательство. Вложение показывает, что группа конечна. Кроме того, для порядков получаем неравенства

и

Отсюда вытекает, что наше отображение биективно и, следовательно, является изоморфизмом.

Следствие. Пусть А — конечная абелева группа, В — ее подгруппа, А — дуальная группа к множество всех , таких, что Тогда существует естественный изоморфизм между и В.

Доказательство. Это частный случай теоремы 10.