§ 11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов

Пусть А — аддитивная группа, К — поле и — аддитивные гомоморфизмы. Мы будем говорить, что алгебраически зависимы (над К), если существует многочлен такой, что

для всех но при этом не индуцирует нулевую функцию на , т. е. на прямом произведении К с собой раз. Мы знаем, что с каждым многочленом можно сопоставить однозначно определенный редуцированный многочлен, дающий ту же самую функцию. Если К бесконечно, то редуцированный многочлен совпадает с . В нашем определении зависимости мы могли бы предполагать редуцированным.

Многочлен будет называться аддитивным, если он индуцирует аддитивный гомоморфизм в К. Пусть — переменные, независимые от (X). Положим

где обозначает результат покомпонентного сложения векторов. Тогда полная степень g, рассматриваемого как многочлен от (X) с коэффициентами в строго меньше, чем полная степень и аналогично его степень по каждому не больше, чем степень по этому Это сразу видно из рассмотрения разности одночленов

Аналогичное утверждение справедливо и для g, рассматриваемого как многочлен от с коэффициентами в . Отсюда вытекает, что если редуцированный, то g также редуцированный. Следовательно, если аддитивный, то g — нулевой многочлен.

Пример. Пусть К имеет характеристику . Тогда в случае одной переменной отображение

где и 1, аддитивно и задается аддитивным многочленом Ниже мы увидим, что это типичный пример.

Теорема 18 (Артин). Пусть - аддитивные гомоморфизмы аддитивной группы в поле. Если эти гомоморфизмы алгебраически зависимы над К, то в имеется аддитивный многочлен , такой, что

для всех

Доказательство. Пусть редуцированный многочлен наименьшей возможной степени, такой, что , но для всех где — вектор Докажем, что аддитивен.

Пусть . Тогда

для всех . Мы утверждаем, что g индуцирует нулевую функцию на Предположим противное. Возможны два случая.

Случай 1. Имеем для всех и для всех По предположению существует вектор для которого не равен тождественно 0. Положим

Так как степень g по (К) строго меньше степени , то получаем противоречие.

Случай 2. Существуют и такие, что . Положим . Тогда — ненулевой многочлен, но для всех — снова противоречие.

Таким образом, g индуцирует нулевую функцию на чем и доказано нужное нам утверждение, а именно, что аддитивен. Рассмотрим теперь аддитивные многочлены более подробно.

Пусть — аддитивный многочлен от переменных над К и притом редуцированный. Положим

где стоит на месте, а остальные компоненты равны 0. В силу аддитивности

поскольку разность между правой и левой частями есть редуцированный многочлен, принимающий на значение 0. Кроме того, для каждого — аддитивный многочлен от одной переменной. Сейчас мы изучим такие многочлены.

Пусть — редуцированный многочлен от одной переменной, индуцирующий линейное отображение К в себя. Предположим, что в встречается одночлен с коэффициентом . Тогда одночлены степени в

задаются выражениями

Но, как мы уже видели, g тождественно равен 0. Следовательно, предыдущее выражение есть тождественный 0, так что многочлен

является нулевым. Но он содержит член Следовательно, при наше поле должно иметь характеристику , а должно делиться на . Запишем где s взаимно просто с . Тогда

Рассуждая, как и выше, заключаем, что

Итак, если - аддитивный многочлен от одной переменной, то

где

В случае характеристики 0 единственными аддитивными многочленами от одной переменной являются многочлены вида , где .

Как и следовало ожидать, мы называем алгебраически независимыми, если любой редуцированный многочлен такой, что для всех является нулевым многочленом.

Применим теорему 18 к тому случаю, когда — автоморфизмы поля, и скомбинируем ее с теоремой о линейной независимости характеров.

Теорема 19. Пусть К — бесконечное поле и — различные элементы конечной группы автоморфизмов К. Тогда алгебраически независимы над К.

Доказательство (Артин). В случае характеристики 0 теорема 18 и линейная независимость характеров показывают, что наше утверждение верно. Пусть характеристика и пусть алгебраически зависимы.

Существует аддитивный многочлен такой, что но

для всех . В силу предыдущего мы можем записать это соотношение в виде

для всех , причем не все коэффициенты равны 0. Поэтому в силу теоремы о линейной независимости характеров эндоморфизмы

не могут быть все различны. Следовательно, для всех мы имеем

где либо либо . Пусть, скажем, Извлечение корня степени в характеристике однозначно. Значит,

для всех Положим . Тогда

для всех . Если , то

для всех

Поскольку К бесконечно, это возможно только при . Но тогда вопреки тому факту, что мы начинали с различных автоморфизмов.