§ 9. Знакопеременные формы

Пусть Е — векторное пространство над полем на которое мы не налагаем теперь никаких ограничений. Пусть — знакопеременная форма на Е, т. е. билинейное отображение такое, что для всех Тогда

для всех что обнаруживается подстановкой вместо в соотношение

Как и для симметрических форм, мы определяем гиперболическую плоскость (для знакопеременных форм) как двумерное невырожденное пространство. (На этот раз мы автоматически получаем элемент w, такой, что так что нет надобности специально выделять это.) Если Р — гиперболическая плоскость и , то в Р существует элемент , для которого . Деля на константу, мы можем считать, что . Тогда Следовательно, матрица формы относительно базиса имеет вид

Как и прежде, пара w, у называется гиперболической парой. Если заданы двумерное векторное пространство над с билинейной формой и пара элементов , удовлетворяющих соотношениям

то легко видеть, что рассматриваемая форма знакопеременная и — гиперболическая плоскость для этой формы.

При заданной знакопеременной форме на Е мы будем говорить, что пространство Е (или ) гиперболическое, если Е является ортогональной суммой гиперболических плоскостей. Мы будем говорить, что Е (или ) нулевое, если для всех

Теорема 6. Пусть - знакопеременная форма на векторном пространстве Е над Тогда Е будет ортогональной суммой своего ядра и гиперболического подпространства. Если Е невырождено, то Е является гиперболическим пространством и его размерность четна.

Доказательство. Дополнительное подпространство к ядру невырождено, и, следовательно, мы можем считать, что Е невырождено. Пусть . Существует элемент для которого . Тогда подпространство невырождено, следовательно, является гиперболической плоскостью Р. Имеем и Р невырождено. Заканчиваем доказательство по индукции.

Следствие 1. Все знакопеременные невырожденные формы заданной размерности над полем k изометричны.

Из теоремы 6 видно, что существует базис пространства Е, относительно которого матрица знакопеременной формы имеет вид

Для удобства записи мы переупорядочим базисные элементы нашей ортогональной суммы гиперболических плоскостей таким образом, чтобы матрица формы приняла вид

где - единичная матоица размера . Матрица

называется стандартной знакопеременной матрицей.

Следствие 2. Пусть Е — векторное пространство над k с невырожденной симметрической формой, обозначаемой через и Q — невырожденная знакопеременная форма на Е. Тогда существуют разложение в прямую сумму и симметрический автоморфизм А пространства Е (относительно ), обладающие следующим свойством. Если записаны в виде

то

Доказательство. Возьмем такой базис в Е, что матрица формы О относительно этого базиса является стандартной знакопеременной матрицей.

Пусть - симметрическая невырожденная форма на Е, задаваемая относительно этого базиса матрицей

Тогда мы получаем разложение Е в прямую сумму подпространств (соответствующих первым и соответственно последним координатам), такое, что

Так как форма предполагается невырожденной, то мы можем найти автоморфизм А, обладающий желаемым свойством, причем А является симметрическим, поскольку форма симметрическая.