§ 7. Симметрические произведения
Пусть обозначает симметрическую группу на 
символах, действующую, скажем, на множестве целых чисел 
Рассмотрим 
- линейное отображение
оно называется симметрическим, если 
Пусть 
— подмодуль в 
, порожденный всеми элементами вида
где 
Введем фактормодуль 
и рассмотрим прямую сумму
Непосредственно ясно, что прямая сумма
— идеал в 
и, следовательно, S (Е) — градуированная А-алгебра, называемая симметрической алгеброй модуля Е.
Далее, каноническое отображение
получаемое композицией отображений
универсально для 
-линейных симметрических отображений. Все это уже должно стать для читателя шаблонным,
Отметим, что S — функтор из категории модулей в категорию градуированных 
-алгебр, Образ 
при каноническом отображении
будет обозначаться просто через 
Предложение 13. Пусть Е — свободный модуль размерности 
над 
— некоторый базис для Е над 
Элементы этого базиса, рассматриваемые как элементы из 
в 
, алгебраически независимы над k, и алгебра S (Е) изоморфна поэтому алгебре многочленов от 
переменных над 
Доказательство. Взяв алгебраически независимые переменные 
над k, образуем алгебру многочленов 
. Пусть 
— 
-модуль однородных многочленов степени 
. Определим отображение 
следующим образом. Если 
-элементы из Е, которые могут быть записаны в виде
то наше отображение задается правилом
Очевидно, что это отображение полилинейно и симметрично. Следовательно, оно может быть пропущено через линейное отображение 
Из коммутативности нашей диаграммы ясно, что для всякого набора из 
целых чисел 
элемент 
из S (Е) отображается на 
Так как одночлены 
степени 
линейно независимы над k, то одночлены в 
также линейно независимы над k, и наше отображение 
является изоморфизмом. Тотчас проверяется, что умножение в 
соответствует умножению многочленов в 
и, следовательно, отображение 
в алгебру многочленов, описанное выше для каждой компоненты 
, индуцирует изоморфизм алгебры S (Е) на алгебру 
что и требовалось.
