§ 6. Примитивные элементы

Теорема 14. Пусть Е — конечное расширение поля k. Элемент для которого , существует тогда и только тогда, когда имеется лишь конечное число промежуточных полей .

Если E сепарабельно над k, то такой элемент а существует.

Доказательство. Если k конечно, то, как мы знаем, мультипликативная группа поля Е порождается одним элементом, который тем самым порождает и Е над k. Поэтому будем предполагать, что k бесконечно.

Предположим, что существует лишь конечное число подполей, промежуточных между k и Е. Пусть . Когда с пробегает элементы из k, мы можем получить лишь конечное число полей типа . Следовательно, существуют элементы причем такие, что

Заметим, что лежат в одном и том же поле, и потому там же лежит а следовательно, и . Таким образом, а также лежит в этом поле и мы видим, что поле может быть порождено одним элементом.

Продолжая по индукции, получаем, что если то существуют элементы , такие, что

где . Это доказывает половину нашей теоремы.

Обратно, предположим, что для некоторого а. Пусть . Тогда делит имеет место однозначность разложения на множители, и любой многочлен из со старшим коэффициентом 1 и делящий равен произведению некоторого числа сомножителей , где — корни многочлена Следовательно, существует лишь конечное число таких многочленов. Таким образом, мы получаем отображение

множества промежуточных полей в конечное множество многочленов. Пусть - подполе в F, порожденное над k коэффициентами многочлена Тогда имеет коэффициенты в и неприводим над поскольку он неприводим над F. Следовательно, степень элемента а над та же самая, что и над F, т. е. Таким образом, поле F однозначно определяется соответствующим ему многочленом и, значит, наше отображение инъективно. Это доказывает первое утверждение теоремы.

Что касается утверждения, относящегося к сепарабельным расширениям, то, используя индукцию, мы можем без потери общности предполагать, что , где сепарабельны над

Пусть — различные вложения поля над Положим

Очевидно, — ненулевой многочлен и, следовательно, существует элемент для которого . Тогда элементы все различны, а потому имеет над степень не меньше . Но и, следовательно, и требовалось доказать.

Если то мы будем говорить, что а — примитивный элемент поля Е (над ).