Глава XI. Вещественные поля

§ 1. Упорядоченные поля

Пусть К — поле. Упорядочение поля К — это подмножество Р в К, обладающее следующими свойствами:

ПОР 1. Для всякого данного элемента либо либо либо и эти три возможности взаимно исключают друг друга. Иными словами, К есть объединение попарно не пересекающихся множеств .

ПОР 2. Если , то

Мы будем также говорить, что К упорядочено посредством Р. и называть Р множеством положительных элементов.

Пусть К упорядочено посредством Р. Так как то . В силу ПОР 2 имеем , откуда вытекает, что К имеет характеристику 0. Если , то из вытекает, что .

Пусть . По определению (или ) означает, что . Если , т. е. элемент положительный, то мы говорим, что элемент отрицательный. Тривиально проверяется, что имеют место обычные соотношения для неравенств, например,

По определению х, у означает, что или . Если , то

Пусть К упорядочено. Для всякого , элемент положителен, поскольку и либо либо Таким образом, сумма квадратов положительна или равна 0.

Пусть Е — поле. Тогда произведение сумм квадратов в Е также будет суммой квадратов. Если а, - суммы квадратов и , то — сумма квадратов.

Первое утверждение очевидно, и второе — тоже, если принять во внимание равенство

Если Е имеет характеристику и если —1 есть сумма квадратов, то всякий элемент будет суммой квадратов, поскольку

Если К — поле с упорядочением Р и F — подполе, то, очевидно, определяет упорядочение на F, называемое индуцированным упорядочением.

Отметим, что обе наши аксиомы ПОР 1 и ПОР 2 применимы и к кольцу. Если А — упорядоченное кольцо с , то ясно, что А не может иметь делителей нуля и упорядочение кольца А можно очевидным образом продолжить на поле частных: дробь называется положительной, если она допускает запись в виде где Тривиально проверяется, что тем самым действительно определено упорядочение на поле частных.

Пример. Определим упорядочение в кольце многочленов над полем вещественных чисел. Многочлен

будем считать положительным, если Обе аксиомы тривиально проверяются. Отметим, что для всех Таким образом, элемент t является бесконечно большим по отношению к R. Существование бесконечно больших (или бесконечно малых) элементов в упорядоченном поле — это основная черта, которой такое поле может отличаться от подполя поля вещественных чисел.

Сделаем несколько замечаний относительно этого явления, т. е. существования бесконечно больших элементов.

Пусть К — упорядоченное поле и F — его подполе с индуцированным упорядочением. Как обычно, полагаем если если Мы будем говорить, что элемент а из К бесконечно большой над F, если для всех Мы будем говорить, что этот элемент бесконечно малый над F, если для всех . Мы видим, что элемент а является бесконечно большим тогда и только тогда, когда элемент бесконечно малый. Мы будем говорить, что К архимедово над F, если в К нет элементов, бесконечно больших над F. Промежуточное поле называется максимальным архимедовым полем над F, если оно архимедово над F и никакое другое промежуточное поле, содержащее не является архимедовым над F. Если архимедово над F и архимедово над то архимедово над F. Следовательно, по лемме Цорна всегда существует максимальное архимедово подполе в К над F. Мы будем говорить, что F — максимальное архимедово подполе в К, если оно является максимальным архимедовым полем над собой в К.

Пусть К — упорядоченное поле и F — его подполе. Обозначим через множество элементов из К, не являющихся бесконечно большими над F. Ясно, что — кольцо, причем для любого будет либо либо . Следовательно, является так называемым кольцом нормирования, содержащим F.

Обозначим через m идеал, состоящий из всех бесконечно малых над F. Тогда — единственный максимальный идеал в , поскольку любой элемент из не лежащий в , имеет обратный в . Мы будем называть кольцо и нормирования, определенным упорядочением расширения

Предложение 1. Пусть К — упорядоченное поле, - его подполе, — кольцо нормирования, определенное упорядочением расширения — его максимальный идеал. Тогда вещественное поле (см. § 2).

Доказательство. В противном случае мы имели бы равенство

где . Но поскольку сумма положительна, а элемент а бесконечно мал, это равенство, очевидно, невозможно.