Добавление

Трансцендентность e и «пи»

В приводимом ниже доказательстве мы следуем классическому методу Гельфонда и Шнейдера, надлежащим образом сформулированному. Этет метод основывается на теореме о значениях функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям. Уже давно было понято, что такие значения подчинены некоторым жестким ограничениям. Здесь мы имеем дело с самым общим алгебраическим дифференциальным уравнением. Литература на эту тему все еще не богата, и большую ее часть читатель найдет в следующих монографиях:

Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, Гостехиздат, 1952.

Schneider Т., Enfiihrung in die transcendenten Zahlen, Springer, Berlin, 1957.

Siegel C. L., Transcendental numbers, Ann. Math. Studies, Princeton, 1949.

Lang S., Introduction to transcendental numbers, Addison — Wesley Publ. Company, 1966.

Приложения и обобщения теоремы, сформулированной в этом добавлении, можно найти в двух моих статьях: Transcendental points on group varieties, Topology, 2, (1963), 313—318, и Algebraic values of meromorphic functions, Topology, 3, (1965), 183—191.

Мы будем предполагать, что читатель знаком с элементарными фактами, касающимися функций комплексного переменного. Пусть — целая функция (т. е. функция, голоморфная на комплексной плоскости). Мы будем говорить, что имеет порядок , если существует число такое, что для всех достаточно больших R при имеет

место неравенство

О мероморфной функции говорят, что она имеет порядок , если она является отношением целых функций порядка .

Теорема. Пусть К — конечное расширение поля рациональных чисел, — мероморфные функции порядка . Предположим, что поле имеет степень трансцендентности -2 над К и что дифференцирование отображает кольцо в себя.

Пусть — различные комплексные числа, среди которых нет полюсов функций такие, что

для всех . Тогда

Следствие 1 (Эрмит — Линдеман). Если а — алгебраическое число (над Q), причем , то трансцендентно. В частности, трансцендентно число .

Доказательство. Допустим, что числа — алгебраические. Положим Две функции алгебраически независимы над К (тривиально), и кольцо очевидно, отображается в себя при дифференцировании. Наши функции принимают алгебраические значения из К в точках для любого — противоречие. Так как то число трансцендентно.

Следствие 2. (Гельфонд — Шнейдер). Если а — алгебраическое число и если — алгебраическое иррациональное число, то трансцендентно.

Доказательство. Рассуждаем, как в следствии 1, рассматривая функции и которые алгебраически независимы, поскольку предполагается иррациональным. Чтобы получить противоречие, как и в следствии 1, берем точки

Прежде чем приводить основные рассуждения, доказывающие теорему, мы сформулируем несколько лемм. Первые две, принадлежащие Зигелю, относятся к целочисленным решениям линейных однородных уравнений.

Лемма 1. Пусть

агпхп

— система линейных уравнений с целочисленными коэффициентами причем . Пусть А — такое число, что для всех . Тогда существует целочисленное нетривиальное решение, для которого

Доказательство. Рассматриваем нашу систему линейных уравнений как линейное уравнение где L — линейное отображение определяемое матрицей из заданных коэффициентов.

Для всякого положительного числа В обозначим через множество таких векторов X из что (где — максимум абсолютных значений коэффициентов вектора X). Тогда L отображает Число элементов в равно . Найдем значение В, для которого существуют два различных элемента X, Y из один и тот же образ Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство и, таким образом, достаточно, чтобы ( Берем в качестве решения нашей задачи.

Пусть К — конечное расширение поля Q и — целое замыкание Z в К. Из упражнения 6 гл. IX мы знаем, что — свободный модуль над Z размерности . Мы считаем поле К содержащимся в поле комплексных чисел. Если , то сопряженным с а будет элемент где а — некоторое вложение К в С. Под размером некоторого множества М элементов из К мы будем понимать максимум абсолютных величин всех сопряженных с этими элементами.

Под размером вектора мы будем понимать размер множества его координат.

Пусть ( - базис модуля над Z, и пусть запишем

Пусть — дуальный базис к относительно следа. Тогда мы можем выразить коэффициенты (Фурье) элемента а в виде следов

След — это сумма по сопряженным. Следовательно, размер этих коэффициентов ограничен размером а, умноженным на фиксированную константу, зависящую от размера элементов со..

Лемма 2. Пусть К — конечное расширение поля Q и

— система линейных уравнений с коэффициентами в причем Пусть, далее, А — такое число, что для всех . Тогда существует нетривиальное решение X из для которого

где -некоторые константы, зависящие только от К.

Доказательство. Пусть — базис над

Каждая компонента может быть записана в виде

где - неизвестные, а каждый коэффициент — в виде

где Z. Если мы перемножим то найдем, что наши линейные уравнения с коэффициентами из эквивалентны системе из линейных уравнений от неизвестных с коэффициентами в Z, размеры которых ограничены константой С А, где С — число, зависящее только от размера элементов и произведений ; другими словами, С зависит только от К. Применяя лемму 1, мы получаем решение в терминах и, следовательно, решение X из размер которого удовлетворяет нужной оценке.

Следующая лемма касается оценок производных. Под размером size (Р) многочлена Р с коэффициентами в К мы будем понимать размер множества его коэффициентов. Знаменателем для некоторого множества элементов из К будет любое положительное целое рациональное число, произведение которого со всяким элементом из этого множества является целым алгебраическим числом. Аналогичным образом мы определяем знаменатель для многочлена с коэффициентами в К. Сокращенно мы обозначаем „знаменатель" через

Пусть

— многочлен с комплексными коэффициентами и

— многочлен с вещественными коэффициентами 0. Мы будем говорить, что Р доминируется многочленом Q, если для всех (v). Непосредственно проверяется, что отношение доминирования сохраняется при сложении, умножении и взятии частных производных по переменным

Лемма 3. Пусть К — поле конечной степени над Q и — функции, голоморфные в некоторой окрестности точки причем отображает кольцо в себя.

Предположим также, что для всех Тогда существует целое число обладающее следующим свойством. Пусть - многочлен степени с коэффициентами в К, и пусть ). Тогда для всех положительных целых чисел k будем иметь

Кроме того, для найдется знаменатель, ограниченный величиной

Доказательство. Существуют многочлены с коэффициентами в К, такие, что

Пусть h — максимум их степеней. На - имеется единственное дифференцирование D, такое, что

Для любого многочлена Р имеем

где — частные производные. Многочлен Р доминируется многочленом и каждый Р, доминируется многочленом

Таким образом, доминируется многочленом

По индукции находим, что доминируется многочленом

Подставляя вместо значения получим искомую оценку для Второе утверждение, касающееся знаменателей, также доказывается тривиальной индукцией.

Теперь мы переходим к основной части доказательства нашей теоремы. Пусть - две функции из алгебраически независимые над — положительное целое число, делящееся на . В конце доказательства мы устремим к бесконечности.

Пусть

имеет коэффициенты из К. Положим Можно выбрать так, чтобы они не все равнзлись 0 и чтобы

для . Действительно, мы должны решить систему из линейных уравнений от неизвестных. Заметим, что

Умножим эти уравнения на знаменатель для коэффициентов.

Используя лемму 2 и оценку из леммы 3, мы можем на самом деле взять в качестве целые алгебраические числа, размер которых ограничен величиной

Так как алгебраически независимы над К, то наша функция F не равна тождественно нулю. Пусть s — наименьшее целое число, такое, что все производные от F вплоть до порядка обращаются в нуль во всех точках но не обращается в нуль в одной из точек w, например в . Тогда Положим

Тогда есть элемент из К и в силу леммы 3 имеет знаменатель, ограниченный величиной при Пусть с — этот знаменатель. Норма элемента из К в Q есть тогда некоторое ненулевое целое рациональное число. Всякий сопряженный с элемент ограничен величиной Следовательно, мы получаем

где — фиксированное абсолютное значение которое сейчас будет оценено сверху с помощью глобальных соображений.

Пусть 0 — целая функция порядка , такая, что функции — целые, причем Тогда - целая функция. смотрим целую функцию

Число отличается от очевидным множителем, ограниченным числом . В силу принципа максимума модуля его абсолютное значение ограничено максимумом Н на окружности большого радиуса R. Если мы возьмем R достаточно большим, то разности будут иметь абсолютные значения, приблизительно равные R, и, следовательно, на окружности радиуса R функция будет ограничена по абсолютной величине выражением вида

Возьмем Тогда получим оценку

Пусть теперь стремится к бесконечности. Тогда и s также стремятся к бесконечности. Комбинируя последнее неравенство с неравенством (1), мы получаем искомую оценку для . Это завершает доказательство.

Разумеется, мы не заботились особенно о степенях S, встречающихся в оценках, и число 10 может быть, очевидно, уменьшено, если проявить несколько большее внимание к оценкам.

Теорема, которую мы доказали, должна быть лишь простейшим результатом в далеко идущей теории, касающейся проблем степени трансцендентности. В некотором смысле, если не делается дополнительных предположений, эта теорема является наилучшей возможной. Например, если — многочлен с целыми коэффициентами, то будет принимать значение 1 во всех корнях Р, которые являются алгебраическими числами. Далее, функции

алгебраически независимы, но принимают значения в для всех целочисленных значений

Однако можно ожидать, что справедливы значительно более сильные результаты об алгебраической независимости. Линдеман доказал, что если — алгебраические числа, линейно независимые над Q, то

алгебраически независимы.

Более общо, Шенуэл высказал следующую гипотезу. Если — комплексные числа, линейно независимые над Q, то степень трансцендентности множества

должна быть (Может быть, необходимо наложить какие-то незначительные ограничения на числа которые, однако, никак не будут влиять на приложения, поскольку все классические числа будут допустимыми.)

Из этого результата можно было бы тотчас вывести алгебраическую независимость (рассмотрев ), а также все другие утверждения о независимости, касающиеся обычной экспоненциальной функции и логарифма, которые, чувствуется, должны быть справедливы, например, утверждение, что я не может лежать в поле, полученном присоединением к алгебраическим числам значений экспоненциальной функции, взятием алгебраического замыкания и итерированием этих двух операций. Такие утверждения относятся к значениям экспоненциальной функции, лежащим в некоторых полях степени трансцендентности и можно надеяться, что путем соответствующего углубления теоремы 1 желаемые результаты будут достигнуты.