§ 3. Одномерные представления

Допуская вольность речи, мы будем даже в случае характеристики говорить, что характер одномерен, если он является гомоморфизмом

Предположим, что Е — одномерное векторное пространство над . Пусть

— представление — базис Е над . Тогда для всякого имеем

где — некоторый элемент, причем так как 0 индуцирует автоморфизм пространства Е. Очевидно,

для любых а, Мы видим, что гомоморфизм и что наш одномерный характер является объектом той же природы, что и характеры, которые встречались в теореме Артина в теории Галуа.

Обратно, пусть — гомоморфизм и Е — одномерное -пространство с базисом Положим о для всех Тогда видно, что это действие на определяет представление группы G, ассоциированным характером которого будет у.

Так как группа G конечна, то

Следовательно, значениями одномерных характеров являются корни степени из единицы. Все одномерные характеры образуют группу по умножению. Для случая, когда G — конечная абелева группа, мы уже определили ее группу одномерных характеров в гл. I, § 11.

Теорема 4. Пусть G — конечная абелева группа. Предположим, что поле k алгебраически замкнуто. Тогда всякое простое представление группы G одномерно. Простые характеры G являются гомоморфизмами G в

Доказательство. Групповое кольцо полупросто, коммутативно и является прямым произведением простых колец. Всякое простое кольцо есть кольцо матриц над (в силу теоремы 5 § 5 предыдущей главы) и может быть коммутативным в том и только в том случае, если оно равно

Для всякого одномерного характера группы имеем

Если k — поле комплексных чисел, то

Следствие. Пусть k — алгебраически замкнутое поле, О — конечная группа. Для любого характера и любого значение равно сумме корней из единицы с целочисленными коэффициентами (т. е. с коэффициентами из Z или в зависимости от характеристики ).

Доказательство. Пусть Н - циклическая подгруппа, порожденная . Представление О, имеющее характер можно, беря ограничение, рассматривать как представление для Н. Таким образом, наше утверждение вытекает из теоремы 4.