§ 4. Гиперболические пространства

Пусть Е — векторное пространство над k с симметрической формой. Мы будем говорить, что — гиперболическая плоскость, если форма невырождена, Е имеет размерность 2 и в существует элемент , такой, что Мы будем говорить, что — гиперболическое пространство, если оно является ортогональной суммой гиперболических плоскостей. В этом случае мы также будем говорить, что форма на гиперболическая.

Пусть — гиперболическая плоскость с элементом , для которого Если , где — некоторый элемент из , то , иначе w был бы ненулевым элементом из ядра. Пусть где . Выберем таким образом, чтобы

(Это можно сделать, поскольку для а мы получили линейное уравнение.) Положим Тем самым мы нашли базис для , а именно такой, что

Относительно этого базиса матрица нашей формы имеет вид

Заметим, что, обратно, пространство , имеющее базис удовлетворяющий условиям невырождено и, следовательно, является гиперболической плоскостью. Базис удовлетворяющий этим соотношениям, будем называть гиперболической парой.

Ортогональная сумма невырожденных пространств невырождена, и, следовательно, гиперболическое пространство невырождено. Отметим, что гиперболическое пространство всегда имеет четную размерность.

Лемма. Пусть Е — векторное пространство над k с невырожденной симметрической формой g, F — его некоторое подпространство и - ядро g в F, причем имеет место ортогональное разложение

Пусть — базис в Тогда в Е существуют элементы перпендикулярные к U, такие, что всякая пара является гиперболической парой, порождающей некоторую гиперболическую плоскость причем имеет место ортогональное разложение

Доказательство. Пусть

Тогда содержится в собственным образом, так что содержится в собственным образом. Следовательно, существует элемент такой, что но Имеем и значит, — гиперболическая плоскость Выше мы уже видели, что можно найти элемент такой, что — гиперболическая пара. Кроме того, получаем разложение в ортогональную сумму

Ясно, что будет ядром g в и мы можем закончить доказательство по индукции.