УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть k — конечное поле из q элементов, — неприводимый многочлен. Показать, что f (X) делит многочлен тогда и только тогда, когда степень делит .

2. Показать, что

где второе произведение берется по всем неприводимым многочленам степени d со старшим коэффициентом 1. Подсчитав степени, показать, что

где — число неприводимых многочленов степени d. С помощью элементарной теории чисел получить двойственное равенство

( — функция Мёбиуса, см. стр. 236.)

3. Пусть k — поле характеристики , и пусть t, и алгебраически независимы над k. Доказать следующие утверждения:

(i) имеет степень над

Между существует бесконечно много расширений.

4. Пусть Е — конечное расширение поля k характеристики и пусть Допустим, что не существует степени для которой сепарабельно над k (т. е. такой, что сепарабелен над к для всякого а из Е). Показать, что Е может быть порождено одним элементом над k. [Указание: предположить сначала, что Е чисто несепарабельно.]

5. Пусть к — поле, — неприводимый многочлен из и — конечное нормальное расширение над к. Показать, что если g, h — неприводимые множители то существует автоморфизм а поля К над к, для которого Привести пример, показывающий, что это утверждение неверно, если К не нормально над к.

6. Пусть алгебраически независимы над полем к, а у алгебраичен над . Пусть — неприводимый многочлен элемента у над к — наименьшее общее кратное знаменателей коэффициентов многочлена Р. Тогда коэффициенты многочлена являются элементами из к . Показать, что

неприводим над к как многочлен от переменной. Обратно, пусть — неприводимый многочлен над к и алгебраически независимы над k. Показать, что

неприводим над

Если — многочлен от переменных и такой набор из элементов, что то мы говорим, что (-нуль многочлена . Мы говорим, что нуль ) нетривиален, если не все координаты равны 0.

7. Пусть — однородный многочлен степени 2 (соответственно 3) над полем к. Показать, что если имеет нетривиальный нуль в некотором расширении нечетной степени (соответственно, степени 2) над k, то имеет нетривиальный нуль в к.

8. Пусть — неприводимый многочлен от двух переменных над полем к, и пусть t трансцендентно над k, причем существуют взаимно простые целые числа и элементы такие, что Показать, что после возможной замены X или Y на обратную величину и с точностью до постоянного множителя многочлен имеет вид

с некоторым .

Ответ к следующему упражнению неизвестен.

9. (Артин) Пусть — однородный многочлен степени d от переменных с рациональными коэффициентами. Показать, что если то существуют корень из единицы и элементы не все равные нулю, такие, что