§ 2. Гомологическая последовательность

Пусть — комплекс. Положим

и назовем модулем -циклов. Положим, далее,

и назовем модулем -границ. Мы часто будем писать вместо соответственно. Будем называть группу

группой гомологий комплекса E. Градуированный модуль, ассоциированный с семейством будет обозначаться через и называться гомологией комплекса Е. Иногда пишут вместо .

Если - морфизм комплексов, скажем, степени 0, то имеем индуцированный канонический гомоморфизм степени G

их гомологий. Это непосредственно видно из коммутативных диаграмм, участвующих в определении морфизма комплексов. Действительно, читатель тотчас проверит, что откуда получается индуцированный гомоморфизм (Читателю следует один и только один раз в своей жизни проследить все детали до конца.) Таким образом, Н есть функтор из категории комплексов в категорию градуированных модулей. Можно было бы писать вместо , а также или для индуцированного отображения на .

Рассмотрим короткую точную последовательность комплексов с морфизмами степени 0:

которая, если ее выписать целиком, выглядит так (пишем d вместо ):

Можно следующим образом определить морфизм степени 1

или, что равносильно, семейство гомоморфизмов

Пусть z лежит в Z. Так как g сюръективно, то существует элемент для которого . Сдвинемся теперь вертикально вниз по стрелке d и возьмем . Используя коммутативность находим, что лежит в . В силу точности существует элемент для которого . Кратко мы можем написать

Мы предоставляем читателю в качестве шаблонного упражнения проверить, что z принадлежит или, другими словами, является циклом, и что его класс по модулю не зависит от выбора элемента z, для которого . Далее, отображение

индуцирует гомоморфизм

который и является компонентой искомого морфизма 6.

Теорема 1. Пусть

— точная последовательность комплексов с морфизмами степени 0. Тогда последовательность

точна.

Доказательство. Доказательство по существу шаблонно и состоит в петлянии по диаграммам. Однако читателю, желающему приобрести навык в подобного сорта тривиальностях, следует проследить его во всех деталях. В качестве примера докажем, что

Воспользуемся теми же обозначениями, которые были введены перед формулировкой теоремы при описании морфизма 6.

Если представляет класс, образ которого относительно равен 0, то это означает, что z — граница, другими словами, что существует элемент для которого Тогда, используя обозначения, введенные при определении 6, имеем

в силу коммутативности. Следовательно,

и есть цикл в . Но . Это означает, что класс элемента лежит в образе что и требовалось доказать.

Если фигурирующую в этой теореме гомологическую последовательность выписать полностью, то она выглядит следующим образом:

Ясно, что наше отображение функториально (в очевидном смысле) и, следовательно, все наше образование является функтором из категории коротких точных последовательностей комплексов в категорию комплексов.