§ 7. Критерии неприводимости

Первый критерий — это критерий Эйзенштейна. Пусть А — факториальное кольцо, К — его поле частных, — многочлен степени 1 в и — простой элемент в А. Предположим, что

Тогда неприводим в

Доказательство. Выделяя в случае надобности н. о. д. из коэффициентов мы можем, не теряя общности, считать, что содержание многочлена равно 1. Если разлагается на множители в К [X], то, согласно следствию леммы Гаусса, существует и разложение в скажем ,

где . Пусть — канонический гомоморфизм, отображающий А на Тогда

Но Поэтому в силу однозначности разложения на множители в кольце

откуда Следовательно, что противоречит условию.

Пример. Пусть а — отличное от нуля и свободное от квадратов целое число . Тогда для любого многочлен неприводим над Q. Многочлены неприводимы над

В некоторых случаях многочлен, не удовлетворяющий критерию Эйзенштейна, после простого преобразования начинает ему удовлетворять.

Пример. Пусть — простое число. Многочлен

неприводим над

Доказательство. Достаточно доказать, что многочлен неприводим над Q. Заметим, что биномиальное коэффициенты

делятся на (потому что числитель делится на , знаменатель не делится, а сам коэффициент является целым числом). Имеем

откуда видно, что удовлетворяет критерию Эйзенштейна.

Пример. Пусть Е — поле и t — элемент некоторого поля, содержащего Е, такой, что t трансцендентен над Е. Пусть К — поле частных кольца . Для любого целого многочлен неприводим в Это вытекает из того факта, что кольцо факториально и t — простой элемент в нем.

Редукционный критерий. Пусть А, В — целостные кольца,

— гомоморфизм и К, L — поля частных для А и В соответственно. Пусть, далее, - такой многочлен, что . Если неприводим в то не обладает разложением , в котором

Доказательство. Предположим, что имеет такое разложение. Тогда Так как то из нашего предположения вытекает, что в этих соотношениях для степеней должно иметь место равенство. Следовательно, в силу неприводимости мы заключаем, что либо g, либо h есть элемент из А, что и требовалось установить.

Предположим в предыдущем критерии, что А — локальное кольцо, т. е. кольцо, имеющее единственный максимальный идеал у, и что служит ядром о. Тогда из неприводимости заключаем о неприводимости . В действительности любой элемент из А, не лежащий в должен быть единицей в А, так что последнее утверждение критерия можно усилить, добавив, что g или h является единицей в А.

Этот критерий можно применять также в тех случаях, когда А факториально, и в этом случае заключать о неприводимости в К [X].

Пример. Пусть — простое число. Ниже будет показано, что многочлен неприводим над полем Следовательно, неприводим над Q. Аналогично многочлен

неприводим над