§ 2. Ранг матрицы

Пусть k — поле и А — матрица размера туп над k. Под строчным рангом А мы будем понимать максимальное число линейно независимых строк матрицы А, а под столбцовым рангом А — максимальное число линейно независимых столбцов А. Таким образом, эти ранги представляют собой размерности векторных пространств, порожденных соответственно строками А и столбцами А. Мы утверждаем, что эти ранги равны одному и тому же числу, и это число мы назовем рангом А.

Действительно, пусть — столбцы - строки А. Пусть - строки с компонентами

Имеем линейное отображение

пространства на пространство, порожденное строками. Обозначим через W его ядро. Тогда W будет подпространством в и

Пусть У — столбец размерности т. Тогда отображение

является билинейным отображением в k, если матрицу размера рассматривать как элемент из k. Заметим, что W ортогонально пространству столбцов т. е. это есть пространство всех X, для которых при . В силу теоремы двойственности из гл. III мы знаем, что пространство дуально самому себе относительно спаривания

и что дуально пространству, порожденному столбцами Следовательно,

или

Отсюда заключаем, что

что и требовалось установить.

Отметим, что W можно рассматривать как пространство решений системы из линейных уравнений

с неизвестными Действительно, если мы запишем предыдущее векторное уравнение через координаты, то получим обычную систему из линейных уравнений. Предоставляем читателю проделать это, если он пожелает.