Часть вторая. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ

Эта часть связана с решениями алгебраических уравнений с одним или несколькими переменными. Это повторяющаяся тема каждой главы части, и мы закладываем здесь фундамент для любого дальнейшего изучения таких уравнений.

Если даны подкольцо А кольца В и конечное число многочленов из , то нас интересуют наборы из элементов , такие, что

для . При соответствующем выборе А и В это включает в себя основную задачу диофантова анализа, когда А а В имеют „арифметическую" структуру.

Мы изучим различные случаи сначала для уравнений с одним переменным над произвольным полем, беря в качестве В алгебраические расширения этого поля. Далее мы рассмотрим аспекты этого вопроса, относящиеся к кольцевым структурам (целые расширения). Затем мы перейдем к конечно порожденным кольцевым расширениям и многочленам от нескольких переменных. Наконец, мы введем дополнительные структуры, такие, как вещественность или метрические структуры, задаваемые абсолютными значениями. Каждая из этих структур приводит к некоторым теоремам, описывающим структуру решений указанных выше уравнений.

Глава VII. Алгебраические расширения

§ 1. Конечные и алгебраические расширения

Пусть F-поле. Если F — подполе поля Е, то мы говорим также, что Е есть расширение поля F. Мы можем рассматривать Е как векторное пространство над F, и мы говорим, что Е — конечное или бесконечное расширение F, в зависимости от того, конечна или бесконечна размерность этого векторного пространства.

Пусть - подполе поля Е. Элемент а из называется алгебраическим над F, если в F существуют элементы не все равные 0 и такие, что

Для алгебраического элемента мы всегда можем найти такие элементы а, в предыдущем равенстве, что (сокращая на подходящую степень а).

Пусть X — переменная над F. Можно также сказать, что элемент а алгебраичен над F, если гомоморфизм

тождественный на F и переводящий в а, имеет ненулевое ядро. В таком случае это ядро будет главным идеалом, порожденным одним многочленом , относительно которого мы можем предполагать, что его старший коэффициент равен 1. Имеет место изоморфизм

и так как кольцо целостное, то неприводим. Если нормализован условием, что его старший коэффициент равен 1, то однозначно определяется элементом а и будет называться неприводимым многочленом элемента а над F. Иногда мы будем обозначать его через .

Расширение Е поля F называется алгебраическим, если всякий элемент из Е алгебраичен над

Предложение 1. Всякое конечное расширение Е поля F алгебраично над

Доказательство. Пусть . Степени а

не могут быть линейно независимы над F для всех целых положительных , иначе размерность Е над F была бы бесконечна. Линейное соотношение между этими степенями показывает, что элемент а алгебраичен над

Заметим, что утверждение, обратное предложению 1, не верно: существуют бесконечные алгебраические расширения. Позднее мы увидим, что подполе поля комплексных чисел, состоящее из всех чисел, алгебраических над Q, является бесконечным расширением Q. Если Е — расширение поля F, то мы обозначаем символом

размерность Е как векторного пространства над F. Будем называть степенью Е над F. Она может быть бесконечной.

Предложение 2. Пусть k — поле и — расширения k. Тогда

Если — базис поля F над k и — базис поля Е над F, то будет базисом поля Е над

Доказательство. Пусть По предположению существуют элементы , почти все равные нулю и такие, что

Для каждого существуют элементы из которых почти все равны 0, такие, что

я, следовательно,

Это означает, что является семейством образующих для Е над k. Мы должны показать, что оно линейно независимо. Пусть - семейство элементов из k, почти все из которых равны 0, такое, что

Тогда для каждого

поскольку элементы линейно независимы над F.

Наконец, для всякого так как - базис поля F над k, что и доказывает наше предложение.

Следствие. Расширение поля k конечно в том и только в том случае, если Е конечно над F и F конечно над

Как и в случае групп, мы называем башней полей последовательность расширений

Для конечности башни необходимо и достаточно, чтобы каждый ее этаж был конечен.

Пусть k — поле, Е — его расширение и . Мы обозначаем через наименьшее подполе в Е, содержащее k и а. Оно состоит из всех дробей где — многочлены с коэффициентами в k и

Предложение 3. Пусть элемент а алгебраичен над k. Тогда и поле конечно над k. Степень равна степени многочлена .

Доказательство. Пусть . Пусть многочлен таков, что Тогда не делится на и, следовательно, существуют многочлены , такие, что

Отсюда мы получаем, что и, значит, обратим в Следовательно, не только кольцо, но и поле, а потому должно равно Пусть . Степени

линейно независимы над действительно, предположим, что

где , причем не все . Положим . Тогда . Следовательно, g (X) делится на — противоречие. Наконец, пусть , где . Существуют многочлены , такие, что и

Тогда и мы видим, что 1, а, порождают как векторное пространство над k. Это доказывает наше предложение.

Пусть Е, F — расширения поля k. Если Е и F содержатся в некотором поле L, то мы обозначаем через наименьшее подполе в L, содержащее и Е, и F, и называем его композитом Е и F в

Если не заданы вложения Е, F в общее поле L, то мы не можем определить их композит.

Пусть k — подполе в — элементы из Е. Мы обозначаем через

наименьшее подполе в Е, содержащее k и . Его элементы состоят из всех дробей

где многочлены от переменных с коэффициентами в k и Действительно, множество таких дробей образует поле, содержащее k и Обратно, любое поле, содержащее k и

должно содержать эти дроби.

Заметим, что Е является объединением всех своих подполей когда пробегает все конечные подсемейства элементов из Е. Можно было бы определить композит произвольного подсемейства подполей поля L как наименьшее подполе, содержащее все поля этого семейства. Мы говорим, что Е конечно порождено над k, если существует конечное семейство элементов из Е, такое, что

Мы видим, что Е есть композит всех своих конечно порожденных лодполей над

Предложение 4. Всякое конечное расширение Е поля k конечно порождено.

Доказательство. Пусть — базис поля Е как векторного пространства над k. Тогда, очевидно,

Если — конечно порожденное поле и - расширение поля k, причем как F, так и Е содержатся в L, то

и поле конечно порождено над F. Мы часто будем рисовать такую картинку:

Наклонные линии указывают на отношение включения между полями. Мы будем также называть расширение поля F подъемом Е до

Пусть элемент а алгебраичен над полем k и F — расширение k. Предположим, что оба поля содержатся в некотором поле L. Тогда а алгебраичен над F. Действительно, неприводимый многочлен для а над k a имеет коэффициенты в F и дает линейную зависимость между степенями а над

Пусть нам дана башня полей

причем каждое поле порождено над предыдущим одним элементом.

Предположим, что каждый элемент а, - алгебраичен над .

В качестве частного случая нашего предыдущего замечания получаем, что алгебраичен над . Следовательно, каждый этаж башни — алгебраический.

Предложение 5. Пусть — конечно порожденное расширение поля k, причем а, - алгебраичен над k для каждого . Тогда Е — конечное алгебраическое расширение поля

Доказательство. В силу предыдущих замечаний Е можно считать вершиной башни, каждый из этажей которой порождается одним алгебраическим элементом и потому является конечным по предложению 3. Ввиду следствия предложения 2 мы заключаем, что Е конечно над k и что оно алгебраично в силу предложения 1.

Пусть — некоторый класс расширений Мы будем называть класс отмеченным, если он удовлетворяет следующим условиям:

(i) Пусть — башня полей. Расширение принадлежит тогда и только тогда, когда принадлежат

(ii) Если принадлежит — любое расширение поля k и если Е, F оба содержатся в некотором поле, то принадлежит

Если принадлежат причем подполя некоторого общего поля, то принадлежит

Указанные свойства иллюстрируются следующими диаграммами:

Эти структурные диаграммы чрезвычайно полезны при обращении с расширениями.

Заметим, что (iii) формально следует из первых двух условий. Действительно, можно рассматривать над k как башню с этажами

Что касается обозначений, то иногда удобнее писать вместо Это не может привести к смешению с факторгруппами, так как мы никогда не будем использовать записи для обозначения соответствующей факторгруппы в тех случаях, когда Е — расширение поля

Предложение 6. Класс алгебраических расширений является отмеченным, и то же самое относится к классу конечных расширений.

Доказательство. Рассмотрим сначала класс конечных расширений. Мы уже доказали условие (i). Что касается (и), то предположим, что конечно, a -любое расширение поля k. В силу предложения 4 существуют элементы а], такие, что Тогда и, следовательно, конечно порождено алгебраическими элементами. Используя предложение S, заключаем, что конечно.

Рассмотрим теперь класс алгебраических расширений. Пусть

— башня. Предположим, что Е алгебраично над k. Тогда a алгебраично над k и Е алгебраично над F. Обратно, предположим, что каждый этаж в башне алгебраический. Пусть Тогда а удовлетворяет уравнению

где причем не все . Пусть . Тогда конечно над k в силу предложения S и а алгебраичен над Из наличия башни

и из того факта, что каждый этаж в этой башне конечен, заключаем, что конечно над k, следовательно, а алгебраичен над k. Это доказывает, что Е алгебраично над k и что, таким образом, условие выполняется для алгебраических расширений. Выполнение условия (ii) уже отмечалось раньше: при подъеме алгебраический элемент остается алгебраическим и, следовательно, алгебраическое расширение при подъеме также остается алгебраическим.

Замечание. Верно, что конечно порожденные расширения также образуют отмеченный класс, но рассуждение, необходимое для доказательства условия (i), может быть выполнено лишь с применением более сложной техники, чем та, которой мы располагаем сейчас.

См. главу о трансцендентных расширениях.