§ 4. Ассоциированные простые идеалы

В этом параграфе мы предполагаем, что А — коммутативное кольцо. Модули и гомоморфизмы, если не оговорено противное, будут - модулями и А - гомоморфизмами.

Предложение 6. Пусть S — мультипликативное подмножество в А, причем S не содержит 0. Тогда в А существует идеал, максимальный в множестве идеалов, не пересекающихся с S, и всякий такой идеал является простым.

Доказательство. Существование такого идеала следует из леммы Цорна (множество идеалов, не пересекающихся с S, не пусто, так как содержит нулевой идеал, и, очевидно, является индуктивно упорядоченным). Пусть — максимальный элемент в этом множестве.

Пусть но . По предположению идеалы порожденные (или соответственно), пересекаются с S, а потому существуют элементы такие, что

Перемножив эти два выражения, получим

где — некоторый элемент из .

Отсюда вытекает, что лежит в . Это противоречит тому факту, что не пересекается с S, и тем самым доказывает, что идеал простой.

Элемент а кольца А называется нилъпотентным, если существует целое число такое, что .

Следствие 1. Элемент а кольца А нильпотентен в том и только в том случае, если он лежит во всяком простом идеале кольца А.

Доказательство. Если , то для всякого простого идеала и, следовательно, . Если ни для какого положительного числа , то обозначим через S мультипликативное подмножество, состоящее из степеней а, а именно и, согласно предложению, найдем простой идеал, не пересекающийся с S, доказав тем самым обратное предложение.

Нильрадикалом идеала называется множество всех таких, что для некоторого целого (или, что эквивалентно, множество элементов образ которых в факторкольце нильпотентен). Заметим, что нильрадикал идеала а является идеалом, поскольку из следует для достаточно большого k: в биномиальном разложении либо а, либо b будет появляться в степени, не меньшей, чем или .

Следствие 2. Элемент а кольца А лежит в нильрадикале идеала а тогда и только тогда, когда он лежит во всяком простом идеале, содержащем а.

Доказательство.

Следствие 2 эквивалентно следствию 1, примененному к кольцу

Распространим следствие 1 на модули. Сделаем сначала несколько замечаний о локализации. Пусть S — мультипликативное подмножество в А. Для всякого модуля М можно определить тем же способом, как мы определили Рассматриваем классы эквивалентности пар где причем две пары эквивалентны, если существует элемент , такой, что Обозначим класс эквивалентности пары через Тотчас проверяется, что множество классов эквивалентности — аддитивная группа (относительно очевидных операций). В действительности она является А-модулем относительно операции

Этот модуль классов эквивалентности мы и будем обозначать через (Отметим, что можно было бы также рассматривать как А-модуль.)

Если — простой идеал в А и S — дополнение к в А, то обозначается также через

Из определений тривиально вытекает, что если инъективный гэмоморфизм, то имеется естественное вложение Другими словами, если N — подмодуль в М, то можно рассматривать как подмодуль в

Если то дробь может рассматриваться как элемент из или Если то существует элемент такой, что а это означает, что есть 0 также и в Таким образом, если — простой идеал и N — подмодуль в М, то имеется естественное вложение Фактически мы будем отождествлять с подмодулем в . В частности, мы видим, что есть сумма своих подмодулей , где (но, разумеется, не прямая сумма).

Пусть Аннулятор а элемента — это идеал, состоящий из всех элементов таких, что . Имеет место изоморфизм (модулей)

относительно отображения

Лемма. Пусть — элемент модуля М, а — его аннулятор и — простой идеал в А. Тогда в том и только в том случае, если содержит а.

Доказательство. Лемма является непосредственным следствием определений, и ее доказательство предоставляется читателю.

Пусть а — элемент из А. Пусть М — некоторый модуль. Гомоморфизм

будет называться главным гомоморфизмом, ассоциированным с а, и будет обозначаться через . Мы будем говорить, что локально нильпотентен, если для каждого существует такое целое число что Из этого условия следует, что для всякого конечно порожденного подмодуля N в М существует такое целое число , что достаточно взять в качестве наибольшую из степеней а, аннулирующих конечное множество образующих N. Поэтому если модуль М конечно порожден, то гомоморфизм локально нильпотентен в точности тогда, когда он нильпотентен.

Предложение 7. Пусть М — модуль, . Тогда локально нильпотентен в том и только в том случае, если а лежит во всяком простом идеале для которого .

Доказательство. Предположим, что локально нильпотентен. Пусть — простой идеал в А, такой, что . Тогда существует для которого Пусть — такое положительное число, что Обозначим через а аннулятор элемента . Тогда и, следовательно, мы можем, применив лемму и следствие 2 предложения 6, заключить, что а лежит во всяком простом идеале , таком, что . Обратно, если дан элемент то рассмотрим модуль и, обратив предыдущие рассуждения, докажем, что для некоторого установив тем самым локальную нильпотентность гомоморфизм .

Пусть М — модуль. Простой идеал (I в будет называться ассоциированным с М, если существует элемент аннулятор которого совпадает с . Так как , то, в частности,

Предложение 8. Пусть М — модуль и — максимальный элемент в множестве идеалов, являющихся аннуляторами элементов Тогда — простой идеал.

Доказательство. Пусть — аннулятор элемента Тогда Пусть Тогда . Но идеал аннулирует и содержит . Если максимален, то отсюда вытекает, что и, следовательно, — простой идеал.

Следствие 1. Если кольцо А нётерово и М — модуль то существует простой идеал, ассоциированный с М.

Доказательство. Множество идеалов, определенное в формулировке предложения 8, не пусто, поскольку , и содержит максимальный элемент, поскольку А нётерово.

Следствие 2. Предположим, что и А, и М. нётеровы, Тогда существует последовательность подмодулей

такая, что каждый фактормодуль изоморфен где — некоторый простой идеал.

Доказательство. Рассмотрим множество подмодулей, обладающих свойством, описанным в формулировке следствия. Оно не пусто, поскольку существует простой идеал , ассоциированный с М, и если — аннулятор то . Пусть N — максимальный элемент в этом множестве. Если , то в силу предыдущего рассуждения, примененного к существует подмодуль N в М, такой, что изоморфен для некоторого , а это противоречит максимальности

Предложение 9. Пусть кольцо А нётерово и . Пусть М — модуль. Тогда гомоморфизм инъективен в том и только в том случае, если а не лежит ни в одном из простых идеалов, ассоциированных с М.

Доказательство. Предположим, что не инъективен, так что для некоторого . В силу следствия 1 предложения 8 существует простой идеал , ассоциированный с и а есть элемент этого . Обратно, если инъективен, то а не может лежать ни в каком ассоциированном простом идеале, потому что а не аннулирует никакого ненулевого элемента из М.

Предложение 10. Пусть кольцо А нётерово и М — модуль. Пусть Следующие условия эквивалентны:

(1) локально нильпотентен-,

(2) а лежит в каждом ассоциированном с М простом идеале,

(3) а лежит в каждом простом идеале , для юторого

Доказательство. То, что (1) влечет (2), очевидно из определений и не нуждается в предположении, что А нётерово. Не нуждается в этом предположении и то, доказанное в предположении 7, утверждение, что (3) влечет (1). Мы должны, таким образом, показать, что (2) влечет (3). Пусть — простой идеал, для которого . Тогда существует элемент , такой, что . В силу предложения в А существует простой идеал q, ассоциированный с Следовательно, существует элемент

0, аннулятор которого совпадает с q. Отсюда вытекает, что , так как иначе существовало бы причем откуда — противоречие.

Пусть теперь — конечное множество образующих идеала

Тогда для каждого существует элемент такой, что Очевидно, Всякий элемент из q аннулирует элемент в М, и если в М, то откуда Следовательно, q — аннулятор элемента в М, являющийся ассоциированным с М простым идеалом. Это как раз и требовалось установить.

Следствие. Пусть кольцо А нётерово u М — модуль. Следующие условия эквивалентны:

(1) существует только один ассоциированный с М простой идеал,

(2) , и для всякого гомоморфизм либо инъективен, либо локально нильпотентен. При выполнении этих условий множество тех элементов , для которых локально нильпотентен, совпадает с простым идеалом, ассоциированным с М.

Доказательство. Это непосредственное следствие предложений 9 и 10.

Приводимое ниже предложение будет использовано в следующем параграфе, чтобы при некоторых условиях охарактеризовать ассоциированные с модулем простые идеалы.

Предложение 11. Пусть N — подмодуль в М. Всякий простой идеал, ассоциированный с N, ассоциирован также и с М. Любой ассоциированный с модулем М простой идеал ассоциирован также либо с N, либо с .

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть — ассоциированный с М простой идеал, скажем есть аннулятор элемента . Если то изоморфен подмодулю из и, следовательно, ассоциирован с . Если то мы рассматриваем как модуль над целостным кольцом и ясно, что аннулятор любого ненулевого элемента из есть 0. Следовательно, его аннулятор в А есть ассоциирован с М, что и требовалось показать.