§ 2. Вещественные поля

Поле К называется вещественным, если —1 не является суммой квадратов в Поле К называется вещественно замкнутым, если оно вещественное и любое его вещественное алгебраическое расширение совпадает с К. Другими словами, К является максимальным по отношению к свойству вещественности алгебраических замыканий.

Предложение 2. Пусть К — вещественное поле.

(i) Если то либо , либо - вещественное поле. Если а — сумма квадратов в К, то поле вещественное. Если поле не является вещественным, то — а есть сумма квадратов в К.

(ii) Если — неприводимый многочлен нечетной степени из и — корень то поле вещественное.

Доказательство. Пусть . Если а — квадрат в К, то поле и, следовательно, является вещественным по условию. Предположим, что а не есть квадрат в К. Если поле не вещественное, то существуют такие, что

Так как линейно независимы над К, то отсюда вытекает, что

Если а — сумма квадратов в К, то получаем противоречие. Во всяком случае,

есть частное сумм квадратов и, значит, в силу сделанного выше замечания а является суммой квадратов. Следовательно, поле вещественное, что доказывает наше первое утверждение.

Что касается второго, то предположим, что не вещественное. Тогда мы можем записать

где многочлены из имеют степени существует многочлен h, такой, что

Сумма имеет четную степень, и эта степень должна быть так как иначе —1 была бы суммой квадратов в К. Степень эта . Поскольку имеет нечетную степень имеет нечетную степень Мы видим, что если — корень , то

— 1 есть сумма квадратов в . Так как , то доказательство завершается по индукции.

Пусть К — вещественное поле. Под вещественным замыканием поля К мы будем понимать вещественно замкнутое поле L, алгебраическое над К.

Теорема 1. Всякое вещественное поле К обладает вещественным замыканием. Вещественно замкнутое поле R имеет единственное упорядочение (а именно, положительные элементы в

— это суммы квадратов). Всякий положительный элемент в R является квадратом, и всякий многочлен нечетной степени из имеет корень в R. Имеет место равенство

Доказательство. В силу леммы Цорна наше поле К содержится в некотором вещественно замкнутом поле, алгебраическом над К. Пусть теперь R — вещественно замкнутое поле и Р — множество ненулевых элементов из R, являющихся суммами квадратов. Тогда Р замкнуто относительно сложения и умножения. В силу предложения 2 всякий элемент из Р есть квадрат в R и для данного элемента , будет либо либо — Таким образом, Р определяет упорядочение. Опять-таки в силу предложения 2 всякий многочлен нечетной степени над R имеет корень к R. Наше последнее утверждение вытекает из примера 5 гл VII, § 2.

Следствие. Пусть К — вещественное поле и а — элемент из К, не являющийся суммой квадратов. Тогда существует упорядочение поля К, при котором элемент а отрицателен.

Доказательство. В силу предложения 2 поле вещественно и, следовательно, имеет упорядочение как подполе своего вещественного замыкания. Относительно этого упорядочения и, значит, а отрицателен.

Предложение 3. Пусть R — поле, такое, что Тогда R вещественно и, следовательно, вещественно замкнуто.

Доказательство. Пусть Р — множество элементов из R, которые являются квадратами и . Мы утверждаем, что Р есть упорядочение поля R. Действительно, пусть Предположим, что а не является квадратом в R. Пусть а — корень уравнения Тогда и, следовательно, существуют с, для которых . В таком случае

Так как линейно независимы над R, то (поскольку и, следовательно, —а есть квадрат.

Теперь докажем, что сумма квадратов будет квадратом. Для простоты положим . Поскольку поле алгебраически замкнуто, для данных мы можем найти такие, что . Тогда . Следовательно,

Если , то одновременно а и —а не могут быть квадратами в R. Таким образом, Р — упорядочение, и наше предложение доказано.

Теорема 2. Пусть R — вещественно замкнутое поле, а, — многочлен из причем

Тогда существует элемент с между а и b, для которого

Доказательство. Так как поле алгебраически замкнуто, то разлагается над R в произведение неприводимых множителей степеней 1 и 2. Если многочлен неприводим , то он является суммой квадратов, а именно

так что Следовательно, изменение знака происходит за счет изменения знака какого-то линейного множителя, который, как тривиально проверяется, должен иметь корень, лежащий между а и b.

Лемма. Пусть К — подполе упорядоченного поля - алгебраический элемент над К, являющийся корнем многочлена

с коэффициентами в . Тогда .

Доказательство. Если , то утверждение очевидно. Если , то выражаем через члены меньшей степени, делим на и получаем доказательство нашей леммы.

Отметим, что из этой леммы вытекает, что элемент, алгебраический над некоторым упорядоченным полем, не может быть бесконечно большим относительно этого поля.

Пусть -многочлен с коэффициентами в вещественно замкнутом поле R, не имеющий кратных корней, и — элементы из R. Под последовательностью Штурма для на интервале мы понимать упорядоченную систему многочленов

обладающую следующими свойствами:

ШТ 1. Последний многочлен является отличной от нуля константой.

ШТ 2. Ни для какого не существует точки такой, что

ШТ 3. Если для некоторого то имеют противоположные знаки.

ШТ 4. Имеем для всех

Для любого элемента не являющегося корнем ни для какого из многочленов мы будем обозначать через число перемен знаков в последовательности

и будем называть вариацией знаков в этой последовательности.

Теорема Штурма. Число корней многочлена заключенных между u и v, равно разности для любой последовательности Штурма

Доказательство. Заметим, что если — упорядоченная последовательность корней многочленов то вариация постоянна в открытых интервалах между этими корнями (в силу теоремы 2).

Следовательно, достаточно доказать, что если имеется точно один элемент а, такой, что и а есть корень некоторого , то разность равна 1, когда а — корень и 0 в противном случае. Предположим сначала, что а — корень некоторого для Тогда согласно ШТ 3 элементы имеют противоположные знаки и эти знаки не изменяются при замене а на и или v. Следовательно, вариация знаков в последовательностях

одна и та же, а именно равна 1. Таким образом, если а не является корнем то Если теперь а — корень , то имеют противоположные знаки, но имеют один и тот же знак, а именно знак, совпадающий со знаком . Следовательно, в этом случае Это доказывает нашу теорему.

Для многочлена без кратных корней последовательность Штурма строится без труда. Применяя алгоритм Евклида, получаем

где . Так как не имеют общих множителей, то последний член в этой последовательности будет отличной от нуля константой. Тривиально проверяются и другие свойства последовательности Штурма. Если бы, например, два последовательных многочлена в этой последовательности имели общий нуль, то он был бы нулем и для всех остальных многочленов, вопреки тому факту, что последний из них в 0 не обращается.

Следствие. Пусть К — упорядоченное поле, — неприводимый многочлен над К степени 1. Число корней в двух вещественных замыканиях поля К, индуцирующих заданное упорядочение на К, одинаково.

Доказательство, Используя лемму, мы можем взять в качестве ; достаточно большой положительный и в качестве и достаточно большой отрицательный элементы в К, так чтобы все корни и все корни многочленов в последовательности Штурма лежали между u и V. Тогда будет равно общему числу корней в любом вещественном замыкании поля К, индуцирующем заданное упорядочение.

Теорема 3. Пусть К — упорядоченное поле и R, R — его вещественные замыкания, индуцирующие заданное упорядочение на К. Тогда существует однозначно определенный изоморфизм о: над К, и этот изоморфизм сохраняет порядок.

Доказательство. Мы покажем сперва, что для данного конечного подрасширения Е в R над К существует вложение Е в R над . Пусть , и пусть . Тогда и следствие теоремы Штурма показывает, что имеет некоторый корень в R. Таким образом, существует изоморфизм на над К, отображающий а в .

Пусть — различные корни и - различные корни в R, причем

Мы утверждаем, что можно выбрать вложение о поля в R таким образом, что для Действительно, пусть Y; — такой элемент из R, что

и пусть . В силу только что доказанного существует вложение а поля в R, а тогда есть квадрат в R. Следовательно,

Это доказывает, что для Кроме того, последнее условие полностью определяет действие о на Мы утверждаем, что а сохраняет порядок. Действительно, пусть и элемент таков, что Тогда существует вложение поля , которое индуцирует о на и для которого есть квадрат, а, значит, как и утверждалось,

Используя теперь лемму Цорна, мы, очевидно, получим изоморфизм R на R над К. Этот изоморфизм сохраняет порядок, поскольку он отображает квадраты на квадраты. Тем самым теорема доказана.

Предложение 4. Пусть К — упорядоченное поле, К — его расширение, в котором нет соотношений вида

Пусть L — поле, получаемое из К присоединением квадратных корней из всех положительных элементов поля К? Тогда L вещественно.

Доказательство. Если нет, то существует соотношение типа

с (Мы можем взять ) Пусть — наименьшее целое число, для которого мы можем записать указанное выше соотношение с лежащими в подполе поля L, имеющем вид

где . Если

где

где

По предположению не лежит в Следовательно,

вопреки минимальности .

Теорема 4. У всякого упорядоченного поля К существует вещественное замыкание R, индуцирующее заданное упорядочение на К.

Доказательство. Возьмем в предложении 4. Тогда L вещественно и содержится в некотором вещественном замыкании. Наше утверждение теперь очевидно.

Следствие. Пусть К — упорядоченное поле и К — его расширение. Для того чтобы существовало упорядочение на К, индуцирующее заданное упорядочение поля К, необходимо и достаточно, чтобы отсутствовали соотношения типа

где

Доказательство. Если нет таких соотношений, то, согласно предложению 4, L вещественно и, значит, содержится в некотором вещественном замыкании, упорядочение которого индуцирует некоторое упорядочение на К и заданное упорядочение на К, что и требовалось. Обратное очевидно.

Пример. Пусть - алгебраических чисел. Непосредственно видно, что Q допускает только одно упорядочение, а именно обычное. Следовательно, любые два вещественных замыкания поля Q в Q изоморфны, причем соответствующий изоморфизм однозначно определен. Вещественные замыкания поля Q в Q исчерпываются в точности подполями в Q, над которыми Q имеет конечную степень. Пусть К — конечное вещественное расширение поля Q, содержащееся в Q, Элемент а из К тогда и только тогда будет суммой квадратов в К, когда положителен всякий элемент, сопряженный с а в поле вещественных чисел, или, что эквивалентно, в одном из вещественных замыканий поля Q в

Замечание. Теория, развитая в этом и предыдущем параграфах, принадлежит Артину — Шрейеру.