§ 10. Теорема Брауэра

Пусть — поле комплексных чисел, — некоторое подкольцо в Мы будем иметь дело с кольцом состоящим из всех линейных комбинаций с коэффициентами в простых характеров G над (Это множество является кольцом в силу предложения 2 § 2.)

Пусть — фиксированное семейство подгрупп в G, занумерованное индексами аддитивная подгруппа в порожденная всеми функциями, которые индуцируются функциями из из нашего семейства. Другими словами.

Мы могли бы также сказать, что подгруппа, порожденная над R всеми характерами, индуцированными со всех На.

Лемма 1. есть идеал в

Доказательство. Это непосредственно вытекает из теоремы § 6.

Во многих приложениях семейство подгрупп будет состоять из „элементарных" подгрупп. Пусть — простое число. Под -элемен-тарной группой мы будем понимать произведение -группы и циклической группы (порядок которой может предполагаться взаимно простым с , поскольку мы можем включить -часть циклического множителя в -группу). Элемент называется -регулярным, если его период взаимно прост с -сингулярным, если его период есть степень . Каждый элемент мы можем единственным образом представить в виде

где элемент -регулярен и коммутируют. Действительно, если — период где взаимно просто с , то откуда что и дает нам наше разложение. Оно, очевидно, единственно, так как множители лежат в циклической подгруппе, порожденной Мы будем называть эти два множителя -сингулярным и -регулярным множителями соответственно.

Предыдущее разложение показывает также, что имеет место

Предложение 17. Все подгруппы и факторгруппы -элемен-тарной группы -элементарны. Если S — подгруппа -элементарной группы , где Р — -группа, а С — циклическая группа взаимно простого с порядка, то .

Доказательство. Очевидно.

Наша цель — показать среди прочего, что если семейство таково, что всякая -элементарная подгруппа в G содержится в некоторой На, то для любого кольца R. Разумеется, это было бы достаточно сделать для но для наших целей необходимо сначала доказать этот результат, используя некоторое большее кольцо.

Основной результат содержится в теоремах 15 и 16, принадлежащих Брауэру. Мы дадим изложение Брауэра — Тейта (Brauer R., Tate J., On the characters of finite groups, Ann. of Math., 62 (19SS), 1-7.)

Пусть R — кольцо где С — примитивный корень степени из единицы. В R как Z-модуле имеется базис, а именно - некоторое целое число. Это тривиальный факт; мы можем взять в качестве N степень неприводимого многочлена элемента над Q. У этого неприводимого многочлена старший коэффициент равен 1 и все другие коэффициенты — целые числа, так что тот факт, что

образуют базис вытекает из алгоритма Евклида, больше ничего об этой степени N нам знать не нужно.

Мы докажем наше утверждение сначала для только что введенного кольца R. Остальное затем будет следовать из приводимой ниже леммы.

Лемма 2. Если и постоянная функция принадлежит , то принадлежит .

Доказательство. Мы утверждаем, что линейно независимы над Действительно, соотношение линейной зависимости давало бы

где — целые числа, не все равные 0. Но простые характеры линейно независимы над k. Предыдущее же соотношение есть соотношение между этими простыми характерами с коэффициентами в R, и мы получаем противоречие. Мы заключаем поэтому, что

есть прямая сумма (абелевых групп), и наша лемма доказана.

Если мы сможем доказать, что постоянная функция 1 а лежит в то в силу леммы отсюда будет следовать, что она лежит в и поскольку - идеал,

Для доказательства нам потребуется ряд лемм.

Два элемента из G называются -сопряженными, если их -регулярные множители сопряжены в обычном смысле. Ясно, что -сопряженность есть отношение эквивалентности; классы эквивалентности будут называться классами -сопряженных элементов или просто -классами.

Лемма 3. Пусть причем для всех Тогда постоянна по модулю на каждом -классе.

Доказательство. Пусть где элемент о -сингулярен, а -регулярен и коммутируют. Достаточно доказать, что

Пусть Н — циклическая подгруппа, порожденная Тогда ограничение может быть записано в виде

где — простые характеры Н, т. е. гомоморфизмы Н в Для некоторой степени мы имеем откуда и, следовательно,

где — максимальный идеал в R, лежащий над . А так как по условию , то Остается заметить, что для любого целого числа .

Лемма 4. Пусть - регулярный элемент, в G, Т — циклическая подгруппа, порожденная , и С — подгруппа в G, состоящая из всех элементов, коммутирующих с . Пусть, далее, Р — силовская -подгруппа в С. Тогда существует элемент , такой, что индуцированная функция обладает следующими свойствами

Доказательство. Отметим прежде всего, что подгруппа в G, порожденная Т и Р, является прямым произведением . Пусть — простые характеры циклической группы Т. Предположим, что они продолжены на посредством композиции с проекцией

Эти продолжения мы по-прежнему обозначаем через

Положим

Соотношения ортогональности для простых характеров на Т показывают, что

Мы утверждаем, что удовлетворяет нашим требованиям.

Прежде всего ясно, что лежит в

Для имеем

где - число элементов таких, что лежит в . Число делится на поскольку если элемент из G переводит а посредством сопряжения в то тем же свойством обладает всякий элемент из Следовательно, значения лежат в

Далее, только для -сопряженного с элемента о, откуда вытекает наше условие (2).

Наконец, равенство возможно только при (так как период взаимно прост . Следовательно, откуда следует наше условие (3).

Лемма 5. Предположим, что семейство подгрупп покрывает G (т. е. всякий элемент из G лежит в некоторой подгруппе На). Если — функция классов на G, принимающая значение в Z и такая, что все ее значения делятся на , то принадлежит

Доказательство. Пусть — некоторый класс сопряженных элементов и взаимно просто . Всякий элемент из G -регулярен и все подгруппы в тривиальны, так что в этом случае -сопряженность есть то же самое, что сопряженность. Применяя лемму 4, мы найдем, что в имеется функция, принимающая значение 0 на элементах и принимающая целочисленное значение, делящее на элементах из у. Умножая эту функцию на некоторое целое число, мы найдем, что в имеется функция, принимающая значения на всех элементах из у и значение 0 на всех других элементах. Отсюда лемма следует непосредственно. -

Теорема 14 (Артин). Всякий характер группы G есть линейная комбинация с рациональными коэффициентами характеров, индуцированных с циклических подгрупп.

Доказательство. Пусть в лемме - семейство циклических подгрупп группы G. Постоянная функция принадлежит

В силу леммы 2 эта функция принадлежит и, следовательно, Таким образом,

что и доказывает теорему.

Лемма 6. Пусть — простое число, и пусть всякая -элементарная подгруппа группы, G содержится в некоторой На. Тогда существует функция значения которой лежат в

Доказательство. Применим леммы 3 и 4. Для всякого -класса у мы можем найти функцию из значения которой равны 0 вне у и для элементов из у. Пусть где сумма берется по всем -классам. Тогда для всех и дает искомую функцию.

Лемма 7. Пусть — простое число, и пусть всякая -эле-ментарная подгруппа группы G содержится в некоторой На. Пусть, далее, где взаимно просто с . Тогда постоянная функция принадлежит

Доказательство. В силу леммы 2 достаточно доказать, что принадлежит Пусть -функция из леммы 6. Тогда

Так как все значения функции делятся на то эта функция лежит в согласно лемме S. С другой стороны, поскольку Это доказывает нашу лемму.

Теорема 15 (Брауэр). Предположим, что для всякого простого числа любая -элементарная подгруппа группы G содержится в некоторой . Тогда Всякий характер группы G есть линейная комбинация с целочисленными коэффициентами характеров, индуцированных с подгрупп .

Доказательство. Это непосредственное следствие леммы 7, так как мы можем найти в функции взаимно простым с любым заданным простым числом.

Следствие. Функция классов на G тогда и только тогда принадлежит , когда ее ограничение на На принадлежит для каждого а.

Доказательство. Предположим, что для каждого а ограничение на На есть характер на На. В силу теоремы мы можем записать

где Следовательно,

согласно теореме 10 (ii) § 6. Поэтому если , то принадлежит X (G). Обратное, разумеется, тривиально.

Теорема 16 (Брауэр). Всякий характер на G есть линейная комбинация с целочисленными коэффициентами характеров, индуцированных одномерными характерами подгрупп.

Доказательство. В силу теоремы 15 и транзитивности индуцирования достаточно доказать, что всякий характер -элементарной группы обладает свойством, сформулированным в теореме. Но мы уже доказали это в предыдущем параграфе (следствие теоремы 13).