§ 9. Некоторые функториальные изоморфизмы

Начнем с одного абстрактного определения. Пусть категории. Функторы из в (скажем, ковариантные от одной переменной) могут рассматриваться как объекты некоторой категории, морфизмы которой определяются следующим образом. Если L, М — два таких функтора, то морфизм — это правило, которое каждому объекту X из сопоставляет морфизм из , такой, что для любого морфизма из коммутативна следующая диаграмма:

Мы можем поэтому говорить об изоморфизме функторов. Ниже мы увидим примеры подобных изоморфизмов в теории тензорных произведений. Категории, рассматриваемые в наших приложениях, являются аддитивными, т. е. в них множества морфивмов образуют аддитивные группы, а закон композиции -билинеен. В этом случае функтор L называется аддитивным, если

Пусть -коммутативное кольцо. Мы будем рассматривать аддитивные функторы из категории -модулей в себя, например, функтор перехода к дуальному модулю

Аналогично имеем функтор от двух переменных

который контравариантен по первому, ковариантен по второму аргументу и биаддитивен.

Мы приведем несколько примеров функториальных изоморфизмов, связанных с тензорным произведением; для этого нам будет удобно иметь общую теорему, дающую критерий того, когда морфизм функторов является на самом деле изоморфизмом.

Предложение 16. Пусть L, М — два функтора (оба ковариантных или контравариантных) из категории k-модулей в себя. Предположим, что оба функтора аддитивны. Пусть - морфизм функторов. Если является изоморфизмом для всякого одномерного свободного модуля Е над то не изоморфизм для всякого конечномерного свободного модуля над .

Доказательство. Начнем с леммы.

Лемма. Пусть Е и — модули над некоторым кольцом, — гомоморфизмы, обладающие следующими свойствами.

Тогда отображение

определяет изоморфизм Е на прямое произведение U, а отображение

— изоморфизм прямого произведения на Е. Обратно, если модуль Е равен прямой сумме подмодулей и если — вложение — проекция Е на то эти отображения обладают указанными выше свойствами.

Доказательство. Доказательство шаблонно и по существу совпадает с доказательством предложения 2 из гл. III, § 3. Мы предоставляем его читателю в качестве упражнения.

Заметим, что семейства обладающие указанными в лемме свойствами, ведут себя функториально: если Т — аддитивный функтор, скажем контравариантный, то семейства также обладают этими свойствами. Аналогично, если Т — ковариантный функтор.

Применим лемму, взяв в качестве модулей одномерные компоненты, возникающие из разложения Е по какому-либо базису. Предположим, например, что оба функтора L, М ковариантны. Для всякого модуля Е имеют место коммутативная диаграмма

и аналогичная диаграмма, получающаяся заменой на и обращением двух вертикальных стрелок. Следовательно, мы получаем разложение в прямую сумму, определяемое отображениями и аналогично для и отображений и По предположению изоморфизмы. Отсюда тривиально вытекает, что — изоморфизм. Чтобы, к примеру, доказать инъективность, запишем элемент в виде

где . Если

и так как отображения дают разложение М(Е) в прямую сумму, то заключаем, что для всех , откуда . Доказательство сюръективности столь же тривиально.

Если мы имеем дело с функтором от нескольких переменных, аддитивным по каждой из них, то, сохраняя все, кроме одной, из этих переменных фиксированными, мы можем применить предыдущее предложение. Именно так мы и поступаем в приводимых ниже следствиях.

Следствие 1. Пусть — свободные конечномерные модули над k. Имеет место функториальный изоморфизм

такой, что

Доказательство. Фиксируем Е, F, F и рассматриваем как функтор от одной переменной Е. Аналогично рассматриваем

как функтор от Е. Отображение функториально, и, следовательно, согласно лемме, достаточно доказать, что оно дает изоморфизм, когда Е имеет размерность 1. Пусть модуль Е имеет размерность 1. Фиксируем его и рассмотрим два выражения, фигурирующих в следствии как функторы от Е. Повторное применение леммы показывает, что достаточно установить, что наше отображение является изоморфизмом, когда Е имеет размерность 1. Аналогично мы можем предполагать, что F, F также имеют размерность 1. В этом случае проверка того, что отображение является изоморфизмом, тривиальна и следствие доказано.

Следствие 2. Пусть - свободные конечномерные модули. Имеет место изоморфизм

Доказательство. Частный случай следствия 1.

Отметим, что следствие 2 уже было доказано раньше, и мы упомянули его здесь только для того, чтобы видно было, как оно связано с принятой в этом параграфе точкой зрения.

Следствие 3. Пусть - свободные конечномерные модули над k. Имеет место функториальный изоморфизм

задаваемый для отображением

где X — такой элемент из , что для всех

Обратный изоморфизм может быть описан следующим образом. Пусть — базис в — дуальный базис. Если А — элемент из то его прообразом в тензорном произведении является элемент

В частности, если , то прообразом тождественного автоморфизма служит элемент

Доказательство следствия 3 получается сведёнием к случаю, когда оба модуля Е, F одномерны, а в этом случае утверждение очевидно. Вывод указанной выше явной формулы для обратного отображения предоставляется читателю в качестве упражнения.

Дифференциальные геометры очень любят изоморфизм

и часто, мысля геометрически , используют в записи благодаря чему без всякой надобности делается ударение на дуализации и совершенно не относящемся к делу формализме, тогда как значительно проще работать непосредственно .

В дифференциальной геометрии обычно применяют к касательному пространству в точке многообразия различные функторы L и элементы получаемых таким образом пространств называют тензорами (типа ).

Следствие 4. Пусть Е, F — свободные конечномерные модули над k. Имеет место функториальный изоморфизм

задаваемый для отображением

где X — такой элемент из , что

Доказательство. Такое же, как и выше.

Наконец, мы предлагаем в качестве упражнения следующий результат:

Предложение 17. Пусть Е — свободный конечномерный модуль над k. Функция следа на равна композиции двух отображений

где первое отображение обратно к изоморфизму, описанному в следствии 3 предложения 16, а второе индуцировано билинейным отображением

Именно в тех ситуациях, когда встречается след, становится важным изоморфизм из следствия 3 и используется конечномерность Е. Во многих же приложениях эта конечномерность не играет роли, и тогда лучше иметь дело непосредственно с .