Глава X. Трансцендентные расширения

В этой главе слово «кольцо» означает «коммутативное кольцо».

§ 1. Базисы трансцендентности

Пусть К — расширение поля k и S — некоторое подмножество в К. Напомним, что S называется алгебраически независимым над если из соотношения

с коэффициентами почти все из которых равны 0, с необходимостью следует, что все

Мы можем ввести отношение порядка среди алгебраически независимых подмножеств в К по возрастающему включению. Эти подмножества тогда, очевидно, оказываются индуктивно упорядоченными, и, таким образом, существуют максимальные элементы. Если S — алгебраически независимое подмножество в и если мощность S является наибольшей среди мощностей всех таких подмножеств, то мы будем называть эту мощность степенью трансцендентности или размерностью расширения К над k. В действительности нам будет необходимо различать только конечные степени трансцендентности и бесконечные степени трансцендентности. Заметим, что понятие степени трансцендентности находится в таком же отношении к понятию алгебраической независимости, как понятие размерности к понятию линейной независимости.

Мы часто будем иметь дело с семействами элементов из К, скажем с семейством мы будем говорить, что такое семейство алгебраически независимо над k, если его элементы различны (другими словами, при ), и множество, состоящее из элементов этого семейства, алгебраически независимо над

Подмножество S в К, алгебраически независимое над k и максимальное относительно упорядоченности по включению, будет называться базисом трансцендентности поля К над k.

Из максимальности ясно, что если S — базис трансцендентности К над k, то поле К алгебраично над

Теорема 1. Пусть К — расширение поля k. Любые два базиса трансцендентности К над k имеют одинаковую мощность. Если Г — множество образующих К над и S — подмножество в Г, алгебраически независимое над k, то существует базис трансцендентности поля К над k, такой, что

Доказательство. Мы докажем, что если существует один конечный базис трансцендентности, скажем то любой другой базис трансцендентности также должен содержать элементов. Для этого достаточно будет доказать следующее: если — элементы из К, алгебраически независимые над k, то (так как затем мы сможем использовать симметрию). По предположению существует ненулевой многочлен от переменных с коэффициентами в k, такой, что

Кроме того, по предположению встречается в и некоторое скажем также встречается в Тогда элемент алгебраичен над . Предположим по индукции, что после подходящей перенумерации мы можем найти такие, что К алгебраично над

Тогда существует ненулевой многочлен от переменных с коэффициентами в k, для которого

причем действительно встречается в . Так как все w алгебраически независимы над k, то некоторый элемент также встречается в После перенумерации мы можем считать, что Тогда алгебраичен над

Поскольку башня алгебраических расширений является алгебраическим расширением, то К алгебраично над

Мы можем повторять эту процедуру, и если , то, заменив все элементами w, мы обнаружим, что К алгебраично над . Это показывает, что из следует равенство что и требовалось.

Мы, таким образом, доказали следующее: либо степень трансцендентности конечна и равна мощности любого другого базиса трансцендентности, либо она бесконечна, и тогда всякий базис трансцендентности бесконечен.

Утверждение о мощности в бесконечном случае предоставляется читателю в качестве упражнения. Мы также оставляем в качестве упражнения утверждение о том, что всякое множество алгебраически независимых элементов может быть дополнено до базиса трансцендентности, выбранного из данного множества образующих. (Читатель отметит полную аналогию этих утверждений с соответствующими утверждениями о линейных базисах.)