§ 8. Кольцо Эйлера — Гротендика

Пусть k — поле и G — группа. Под (G, k)-модулем мы будем понимать пару , состоящую из -пространства Е и гомоморфизма

Такой гомоморфизм называется также представлением G в Е. Допуская вольность речи, мы будем также говорить, что -пространство является -модулем.

Группа G действует на Е, и мы пишем вместо Поле во всем последующем будет оставаться фиксированным.

Пусть обозначает категорию, объектами которой являются -модули. Морфизмами в служат так называемые -гомоморфизмы, т. е. -линейные отображения такие, что

Если -модуль и то мы имеем по определению -автоморфизм о: Поскольку — функтор, для всякого имеем индуцированный автоморфизм

так что также является -модулем. Беря прямую сумму, мы видим, что Т (Е) есть -модуль и, следовательно, Т — функтор из категории -модулей в категорию градуированных О-модулей. Аналогично для и .

Ясно, что ядром О-гомоморфизма будет О-модуль и фактормодулем О-модуля по О-подмодулю — снова -модуль. Пусть — множество классов -модулей относительно -изоморфизма. Это множество является моноидом, сложение в котором представляется на модулях прямой суммой. Имеем гомоморфизм Гротендика

моноида в группу Гротендика , взятую относительно точных последовательностей также с конструкцией в гл. IV, § 3). Для простоты мы пишем К (О) вместо

Если обозначает класс Е относительно изоморфизма, то будем также писать вместо

Если Е, -модули, то их тензорное произведение над также является -модулем. Здесь снова действие G на задается функториально. Для всякого существует однозначно определенное -линейное отображение , такое, что для имеем а (у). Тензорное произведение индуцирует закон композиции на так как тензорные произведения О-изоморфных модулей -изоморфны. Мы утверждаем, что является также мультипликативным моноидом. Наш закон композиции ассоциативен, поскольку тензорное произведение ассоциативно. Существует единичный элемент, а именно класс модуля над О, причем действие О на определяется правилом для всех (таким образом,

Произведение на очевидно, дистрибутивно относительно сложения, так как тензорное произведение прямой суммы есть прямая сумма тензорных произведений.

Наконец, поскольку -изоморфно наше умножение в коммутативно. Таким образом, — моноид относительно сложения и коммутативный моноид относительно тензорного произведения, причем умножение в нем -билинейно по отношению к сложению.

Так как k — поле, то тензорное умножение точной последовательности -модулей над к на любой О-модуль над k сохраняет точность. Благодаря этому можно определить произведение в , которое однозначно задается условием

для всех -модулей Е, F. Отсюда тривиально следует, что есть кольцо и что у — гомоморфизм как для аддитивного, так и для мультипликативного закона на . Поэтому мы можем назвать К(G) кольцом Гротендика группы G (над k). Так как G фиксирована, то мы будем также писать К вместо

Если — -модуль, то мы пишем для обозначения элемента другими словами, элемента в , который является образом при у модуля или, более точно, класса этого модуля относительно изоморфизма.

Определим теперь отображение в кольцо степенных рядов а именно отображение такое, что

Так как то . Следовательно, наше отображение является на самом деле отображением в мультипликативную группу степенных рядов, начинающихся с 1. Мы будем записывать эту группу в виде

Таким образом, есть отображение

Предложение 14. Для любых -модулей Е, F имеет место изоморфизм

Доказательство. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

Следствие. Отображение описанное выше, является гомоморфизмом в мультипликативную группу

Ввиду универсальности мы можем продолжить на [или, более точно, пропустить , через ]. Индуцированное отображение на К(G) будет снова обозначаться через

Обозначим через элемент в кольце Гротендика.

Предложение 15. Для любого G-модуля Е положим

Тогда

Доказательство этого утверждения сложнее, и необходимая для его получения техника составляет первую главу любого изложения, имеющего дело с более глубокими аспектами только что введенных структур.

В заключение — один пример.

Предположим, что Е одномерно над k. Тогда для . Следовательно,

и

В случае когда группа тривиальна, можно дать простое доказательство предложения 15, сведя его к одномерному случаю.