§ 5. Теорема Витта

Теорема 2. Пусть Е — векторное пространство над - невырожденная симметрическая форма на Е. Пусть, далее, F, F — подпространства в — изометрия. Тогда может быть продолжено до изометрии Е на себя.

Доказательство. Сначала сведем доказательство к случаю, когда F невырождено.

Мы можем записать как в лемме из предыдущего параграфа. Тогда Кроме того, будет ядром g в F.

Теперь мы можем расширить и F, и F, как в лемме, до ортогональных сумм

соответствующих выбору некоторого базиса в и образу этого базиса в . Таким образом, мы можем продолжить о до изометрии этих расширенных пространств, являющихся уже невырожденными.

Итак, предположим, что F, F невырождены, и будем действовать шаг за шагом.

Допустим сначала, что т. е. что — изометрия F на себя. Тогда мы можем продолжить а на Е, просто оставляя каждый элемент из F неподвижным.

Далее, предположим, что и что . Пусть, скажем, где Тогда . Кроме того, имеет размерность 2.

Подпространство обладает изометрией, продолжающей о, которая переводит . Если невырождено, то мы можем применить предыдущий шаг и завершить доказательство.

Если вырождено, то ядро g на нем имеет размерность 1. Пусть w — базис этого ядра. Существуют элементы такие, что Тогда и, следовательно, . Заменив w на мы можем считать, что Пусть Применим лемму к пространству

Мы найдем элемент для которого

Пространство певырождено как ортогональная сумма и гиперболической плоскости . Оно обладает изометрией, при которой

Но отображается при этой изометрии на

Таким образом, с этим случаем мы разделались.

Заканчиваем доказательство по индукции. В силу существования ортогонального базиса (теорема 1) всякое подпространство F размерности имеет ортогональное разложение в сумму подпространств меньшей размерности. Пусть где Тогда

Пусть - ограничение на . По индукции мы можем продолжить до изометрии

Тогда Так как перпендикулярно к , то содержится в Пусть Тогда изометрия

продолжается по индукции до изометрии

Пара и дает нам искомую изометрию пространства на себя.

Следствие 1. Пусть Е, Е — векторные пространства с невырожденными симметрическими формами. Предположим, что они изометричны. Пусть F, F — их подпространства и — изометрия. Тогда может быть продолжено доизометрии Е на Е.

Доказательство. Очевидно.

Пусть Е — векторное пространство над k с симметрической формой g. Мы будем говорить, что -нулевая форма или что Е — нуль-пространство, если для всех Поскольку мы предположили, что характеристика k не равна 2, то условие для всех влечет, что -нулевая форма. Действительно,

В качестве приложений теоремы 2 мы получаем еще несколько следствий.

Следствие 2. Пусть Е — векторное пространство с невырожденной симметрической формой, W — его максимальное нуль-подпространство и W — некоторое нуль-подпространство. Тогда и W содержится в каком-то максимальном нуль-подпространстве, размерность которого совпадает с

Доказательство. Тот факт, что W содержится в максимальном нуль-подпространстве, следует из леммы Цорна, Предположим, что Имеем изометрию W на подпространство в W, которая может быть продолжена до изометрии Е на себя. Тогда есть нуль-подпространство, содержащее W и, следовательно, равное W, откуда Наши утверждения следуют из симметрии.

Пусть Е — векторное пространство с невырожденной симметрической формой и W — нуль-подпространство. Согласно лемме § 4, мы можем вложить W в некоторое гиперболическое подпространство Н в Е, размерность которого равна причем W является максимальным нуль-подпространством в Н. Любое такое Н будет называться гиперболическим расширением

Следствие 3. Пусть Е — векторное пространство с невырожденной симметрической формой, W и W — максимальные нуль-подпространства, а Н, Н — гиперболические расширения W, W соответственно. Тогда Н и Н изометричны, равно как и

Доказательство. Имеем очевидную изометрию Н на Н, которая может быть продолжена до изометрии Е на себя. Эта изометрия отображает Н на что и требовалось.

Следствие 4. Пусть — симметрические формы на векторных пространствах над полем k. Если форма изометрична форме и если невырождены, то изометрична

Доказательство. Пусть - форма на — форма на и h — форма на F. Тогда имеем изометрию на Продолжим тождественную изометрию до изометрии о пространства на согласно следствию 1. Так как и -соответствующие ортогональные дополнения к F в этих двух пространствах, то мы должны иметь что и доказывает требуемое утверждение.

Пусть g — симметрическая форма на векторном пространстве Е. Мы будем говорить, что g определенная, если для любого , если ).

Следствие S. Пусть g — симметрическая форма на векторном пространстве. Тогда g обладает разложением в ортогональную сумму

где — нулевая форма, — гиперболическая и — определенная. Форма невырожденная. Формы однозначно определены с точностью до изометрии.

Доказательство. Разложение где нулевая форма, — невырожденная, единственно с точностью до изометрии, поскольку соответствует ядру

Мы можем поэтому предполагать, что g — невырожденная. Если

где — гиперболическая, — определенная, то соответствует гиперболическому расширению максимального нуль-подпространства и, согласно следствию определена однозначно. Следовательно, однозначно определена как ортогональное дополнение к (Под однозначной определенностью мы, разумеется, понимаем однозначную определенность с точностью до изометрии.)

Мы сокращаем до до