§ 3. Эйлерова характеристика

Мы продолжаем рассматривать А-модули. Пусть Г — абелева группа, записываемая аддитивно. Пусть — правило, сопоставляющее некоторым модулям элементы из Г и удовлетворяющее следующему условию:

Если — точная последовательность, то определено тогда и только тогда, когда определены случае

Кроме того, определено и равно 0.

Такое правило будет называться отображением Эйлера —

Пуанкаре на категории А-модулей. В том случае, когда модуль изоморфен модулю М, из точности последовательности

заключаем, что если определено, то и определено и Следовательно, если определено для модуля , то определено для всякого подмодуля и фактормодуля М.

В частности, если имеется точная последовательность модулей

и если определены, то определено и , что сразу видно, если рассмотреть ядро и образ наших двух отображений и применить определение.

Примеры. В случае можно считать определенным для всех конечных абелевых групп и равным порядку группы. Значения лежат в мультипликативной группе положительных рациональных чисел.

В качестве другого примера рассмотрим категорию векторных пространств над полем k. Можно считать определенным для конечномерных пространств и равным размерности. Значения лежат тогда в аддитивной группе целых чисел.

Вернемся к общему случаю. Пусть Е — открытый комплекс, такой, что почти все равны 0. Пусть — отображение Эйлера — Пуанкаре на категории модулей (т. е. А-модулей). Определим характеристику Эйлера — Пуанкаре (или, короче, эйлерову характеристику) относительно формулой

при условии, что значения (Н определены для всех в этом случае мы говорим, что определена для комплекса Е. Той же формулой определим характеристику Эйлера — Пуанкаре и в случае замкнутого комплекса Е, длина которого ).

За примером читатель может обратиться к упражнению 14 из гл. I.

Можно рассматривать Н как комплекс, положив d равным нулевому отображению. При этом мы видим, что есть та же знакопеременная сумма, что и выше. Более общо:

Теорема 2. Пусть F — комплекс, имеющий четную длину, в случае если он замкнут. Предположим, что определено для всех i и что выполнено одно из следующих двух условий. для почти всех для почти всех I, и отображение таково, что влечет для всякого . Тогда характеристика определена и

Доказательство. Заметим сначала, что определено для всех I, а из условий или вытекает, что для почти всех i.

Следовательно, характеристика определена. Пусть и — группы -циклов и -границ в соответственно. Имеем точную последовательность

из которой получаем

причем для почти всех i каждый из членов этого равенства обращается в нуль. Взяв знакопеременную сумму, немедленно получаем наше утверждение.

Комплекс, гомологии которого тривиальны, называется ацикличным.

Следствие. Пусть - ацикличный комплекс, удовлетворяющий условиям теоремы 2. Тогда

Если открытый комплекс F таков, что для почти всех I, то его можно рассматривать как замкнутый комплекс, определив дополнительное отображение, идущее от дальнего правого нуля к дальнему левому нулю. Таким образом, в этом случае изучение открытого комплекса сводится к изучению замкнутого комплекса.

Теорема 3. Пусть

— точная последовательность комплексов с морфизмами степени 0. В случае замкнутых комплексов предполагаем, что их длина четна. Пусть — отображение Эйлера — Пуанкаре на категории модулей. Если характеристика определена для двух из трех комплексов, то она определена и для третьего и

Доказательство. Имеем точную гомологическую последовательность

Эта гомологическая последовательность есть не что иное, как комплекс, гомологии которого тривиальны. Кроме того, каждая группа гомологий, принадлежащая, скажем Е, стоит между группами гомологий Е и . Следовательно, если определена для Е и , то она опредзлена и для Е. Аналогично рассуждаем и в двух других случаях. Если наши комплексы — замкнутые четной длины , то го

Поэтому мы можем применить следствие из теоремы 2 для получения искомого результата.

Для ряда приложений удобно построить универсальное отображение Эйлера. Пусть А — некоторое множество классов модулей относительно изоморфизма. Если Е — модуль, то пусть — его класс относительно изоморфизма. Мы требуем, чтобы А удовлетворяло условию Эйлера — Пуанкаре, т. е. чтобы для всякой точной последовательности

класс тогда и только тогда лежал в А, когда лежат в А. Кроме того, нулевой модуль лежит в А? Мы утверждаем, что существует отображение

множества А в некоторую абелеву группу К (А), обладающую свойством универсальности по отношению к отображениям Эйлера — Пуанкаре, определенным на А.

Чтобы построить это отображение, рассмотрим свободную абелеву группу , порожденную множеством наших классов Пусть подгруппа, порожденная всеми элементами вида

где

— точная последовательность, члены которой лежат в А? Пусть К (А) — факторгруппа и пусть - естественное отображение. Ясно, что у обладает свойством универсальности.

Отметим сходство этой конструкции с группой Гротендика моноида. И действительно, группа К (А) известна под названием группы Эйлера—Гротендика множества А.

Важное обобщение. Из предыдущего ясно, что ббльшая часть того, что мы сделали, относится к чистой теории стрелок. Действительно, для определения гомологий нам нужны только понятия ядра и коядра (фактормодуля). Тот факт, что модули состоят из элементов, мы использовали лишь для определения 6.

Можно аксиоматизировать понятие категории, в которой все предыдущие рассуждения имеют смысл. Рассмотрим сначала категорию А, такую, что есть абелева группа для каждой пары объектов Е, F из А, причем выполняются следующие два условия:

АБ 1. Закон композиции морфизмов билинеен, и существует нулевой объект 0, т. е. такой объект, что состоят ровно из одного элемента для любого Е.

АБ 2. В этой категории существуют конечные произведения и конечные копроизведения.

Мы говорим тогда, что А — аддитивная категория Для данного морфизма в категории А его ядром по определению будет такой морфизм что для всех объектов X в этой категории точна следующая последовательность:

Мы определяем коядро как морфизм такой, что для всех объектов X в категории точна следующая последовательность:

Непосредственно проверяется, что ядра и коядра универсальны в подходящих категориях и, следовательно, если существуют, то единственны с точностью до однозначно определенного изоморфизма

АБ 3. Ядра и коядра существуют.

АБ 4. Если морфизм, ядро которого есть 0, то — ядро своего коядра. Если — морфизм, коядро которого G, то -коядро своего ядра. Морфизм, ядро и коядро которого равны 0, есть изоморфизм.

Категория А, удовлетворяющая предыдущим четырем аксиомам, называется абелевой категорией.

Например, комплексы модулей образуют абелеву категорию, поскольку ясно, как определить, скажем, ядро морфизма комплексов. В топологии абелеву категорию образуют так называемые векторные пучки.