Глава XIV. Структура билинейных форм

§ 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы

Цель этой главы — проникнуть несколько глубже в структурную теорию наших трех типов форм. При этом мы будем большей частью предполагать, что основное кольцо является полем и даже полем характеристики в симметрическом случае.

Напомним наши три определения. Пусть Е — модуль над коммутативным кольцом некоторое отображение. Билинейное отображение g мы называем симметрической формой, если для всех Мы называем форму g знакопеременной, если и, следовательно, для всех . В том случае, когда R имеет автоморфизм порядка 2, мы говорим, что g — эрмитова форма, если отображение g линейно по своему первому аргументу, антилинейно по второму и

Мы будем писать g(x, у) = <х, у>, если ясно, о какой форме g идет речь. Мы также иногда будем писать или называя g скалярным произведением.

Если , то будем обозначать через подмодуль в Е, порожденный элементами

Пусть форма g симметрическая, знакопеременная или эрмитова. Тогда ясно, что левое ядро g равно ее правому ядру; оно будет называться просто ядром

В любом из этих случаев мы будем говорить, что форма g невырожденная, если ее ядро равно 0. Предположим, что Е конечномерно над некоторым полем k. Тогда форма невырождена в том и только в том случае, если она неособая, т. е. индуцирует изоморфизм Е с его дуальным пространством (антидуальным в случае эрмитовых форм);

За исключением нескольких замечаний об антилинейности из предыдущей главы, в этой главе мы не будем использовать результатов о двойственности. Нам потребуется только двойственность над полями, рассмотренная в гл. III.

Кроме того, нам по существу не придется здесь встречаться с матрицами, за исключением замечаний о пфаффиане в § 10.

Введем еще одно обозначение. При изучении форм на векторных пространствах мы будем часто разлагать векторное пространство в прямые суммы ортогональных подпространств. Если Е — векторное пространство с формой g и F, F — его подпространства, то мы будем писать

для обозначения того факта, что Е есть прямая сумма F и F и что F ортогонально (или перпендикулярно) F, т. е., другими словами, для всех . Мы в этом случае будем говорить, что Е является ортогональной суммой F и F. Это не будет приводить к путанице с использованием символа в тех случаях, когда мы пишем лишь для обозначения того, что F перпендикулярно F. Из контекста всегда будет ясно, что мы имеем в виду.

Большая часть этой главы посвящена получению определенных ортогональных разложений векторного пространства с одним из наших трех типов форм, таких, что каждое слагаемое в сумме имеет некоторый легко распознаваемый тип.

В симметрическом и эрмитовом случаях особенно интересны прямые разложения, слагаемые в которых одномерны. Так, в случае симметрической или эрмитовой формы мы говорим, что — ортогональный базис (относительно этой формы), если для всех . Очевидно, что всякий ортогональный базис дает такое разложение. Если форма невырожденная и если — ортогональный базис, то непосредственно видно, что ни для какого

Предложение 1. Пусть Е — векторное пространство над полем k и - форма одного из трех указанных выше типов. Предположим, что Е представляется в виде ортогональной суммы

Тогда g невырождена на Е в том и только в том случае, если она невырождена на каждом Если — ядро ограничения g на то ядром g на Е будет ортогональная сумма

Доказательство. Элементы v, w из Е однозначно записываются в виде

где

Тогда

и для всех в том и только в том случае, если для всякого . Теперь наше утверждение очевидно.

Заметим, что если — векторные пространства над k и — формы на этих пространствах, то мы можем определить форму прямой сумме а именно, если v, w записаны как выше, то полагаем

Ясно, что при этом фактически Мы могли бы также писать

Предложение 2. Пусть Е — конечномерное пространство над полем k и g — форма на Е одного из упомянутых выше типов. Предположим, что g невырождена. Пусть F — подпространство в Е. Форма g тогда и только тогда невырождена на F, когда причем невырожденность на F эквивалентна невырожденности на

Доказательство. Имеем (как тривиальное следствие из гл. III, § 5)

Следовательно, тогда и только тогда, когда Отсюда тотчас вытекает наше первое утверждение. Так как F, F входят в размерностное условие симметрично, то отсюда вытекает также наше второе утверждение.

Вместо того чтобы говорить, что форма невырождена на Е, мы будем иногда, допуская вольность, говорить, что само Е невырождено.

Пусть Е — конечномерное пространство над полем k, g — форма одного из упомянутых выше типов и -ядро этой формы. Мы получаем индуцированную форму того же самого типа

поскольку зависит только от смежного класса и смежного класса у по модулю При этом — невырожденная, так как ее ядро с обеих сторон равно 0.

Пусть — конечномерные векторные пространства с формами g, g соответственно. Линейное отображение а: называется метрическим, если

или, в других обозначениях, для всех Если отображение а — линейный метрический изоморфизм, то мы будем говорить, что — изометрия. Формы g, g при этом называются изометричными (или эквивалентными).

Пусть обозначают то же, что и выше. Тогда мы имеем индуцированную форму на факторпространстве Если W — дополнительное подпространство к то каноническое отображение метрическое и индуцирует изометрию W на Это утверждение очевидно. Оно показывает, что если — другое разложение Е в прямую сумму, то W изометрично W. Мы знаем, что пространство невырождено. Следовательно, наша форма определяет однозначно с точностью до изометрии невырожденную форму на подпространстве, дополнительном к ядру.