§ 5. Простые кольца

Лемма. Пусть R — кольцо и — гомоморфизм кольца R, рассматриваемого как -модуль, в себя. Тогда существует элемент такой, что для всех

Доказательство. Имеем Положим

Теорема 4. Пусть R — простое кольцо. Тогда R — конечная прямая сумма простых левых идеалов. В R нет двусторонних идеалов, кроме 0 и R. Если L, М — простые левые идеалы, то существует элемент такой, что . При этом

Доказательство. Так как кольцо R по определению полупросто, то оно является прямой суммой простых левых идеалов, скажем . Мы можем представить 1 в виде конечной суммы , где . Тогда

Это доказывает наше первое утверждение. Что касается второго утверждения, то оно есть следствие третьего. Пусть, таким образом, L — простой левый идеал. Имеем разложение в прямую сумму Пусть — проекция. Это - эндоморфизм. Пусть М — любой другой простой левый идеал и — изоморфизм (существующий по определению простого кольца). Тогда отображение есть - эндоморфизм. В силу леммы существует элемент такой, что

Применим это к элементу Найдем

Отображение есть ненулевой -гомоморфизм L в М и, следовательно, изоморфизм. Отсюда тотчас вытекает, что и наша теорема тем самым доказана.

Следствие. Пусть R — простое кольцо, - его простой левый идеал и Е — простой -модуль. Тогда и модуль Е точный.

Доказательство. Имеем . Допустим, что для некоторого Тогда . Но — двусторонний идеал. Следовательно, . Это доказывает, что модуль Е точный.

Теорема 5 (Риффель). Пусть - кольцо, не содержащее двусторонних идеалов, отличных от 0 и R. Пусть L — левый идеал, . Тогда естественное отображение является изоморфизмом.

Доказательство. Ядро Я — двусторонний идеал, так что отображение X инъективно. Так как — двусторонний идеал, то . Для любых имеем поскольку правое умножение на у является - эндоморфизмом L. Следовательно, — левый идеал в так что

что и требовалось доказать.

Теорема 5 показывает, что R можно представить как кольцо эндоморфизмов некоторого конечномерного модуля над телом. Обратно:

Теорема 6. Пусть D — тело, Е — конечномерное векторное пространство над D и . Тогда кольцо R — простое и Е — простой -модуль. Кроме того,

Доказательство. Покажем сначала, что Е — простой -модуль. Пусть . Тогда элемент v может быть дополнен до базиса Е над D и, значит, для заданного существует элемент такой, что Следовательно, Е не может содержать никакого инвариантного подпространства, кроме 0 и самого себя, т. е. Е просто над R. Ясно, что Е — точный модуль над R. Пусть — базис Е над D. Отображение

кольца R в является инъективным -гомоморфизмом R в

Для заданных существует элемент такой, что и, следовательно, кольцо R -изоморфно Это показывает, что R (как -модуль над собой) изоморфно прямой сумме простых модулей, а потому полупросто. Далее, все эти простые модули изоморфны друг другу и, значит, в силу теоремы 2 кольцо R простое.

Остается доказать, что Заметим, что Е — полупростой модуль над D, так как в векторном пространстве всякое подпространство обладает дополнительным подпространством. Мы можем поэтому применить теорему плотности (R и D теперь поменялись ролями!). Пусть . В силу теоремы плотности существует элемент такой, что . Пусть Существует элемент такой, что . Тогда

Таким образом, для всех . Это означает, что что и завершает наше доказательство.

Теорема 7. Пусть к — поле, Е — конечномерное векторное пространство размерности над k и

Тогда R — -пространство и

Кроме того, m есть число простых левых идеалов, содержащихся в произвольном разложении R в прямую сумму таких идеалов.

Доказательство. Пространство - эндоморфизмов -пространства Е представляется пространствомматриц размера т. над так что размерность R как -пространства равна . С другой стороны, доказательство теоремы 6 показывает, что R как -модуль - иэоморфен прямой сумме Но однозначность разложения модуля в прямую сумму простых модулей нам известна (предложение 2 § 1), что и доказывает наше утверждение.

Мы видим, что в терминологии § 1 целое число , о котором идет речь в теореме 7, есть длина

Мы можем отождествить с кольцом матриц как только выбран базис Е. В этом случае мы можем взять в качестве простых левых идеалов идеалы , состоящие из матриц с единственным ненулевым столбцом. Элементы из выглядят, например, так:

Мы видим, что R есть прямая сумма столбцов.

Отметим также, что теорема 6 приводит к следующему утверждению: если матрица коммутирует со всеми элементами из то М — скалярная матрица.

Действительно, такая матрица М может рассматриваться как -эндоморфизм Е, а мы в силу теоремы 6 знаем, что всякий такой эндоморфизм лежит в Разумеется, этот факт легко можно проверить также прямым вычислением.