Глава II. Кольца

§ 1. Кольца и гомоморфизмы

Кольцо А — это множество с двумя законами композиции, называемыми соответственно умножением и сложением, записываемыми соответственно как произведение и как сумма и удовлетворяющими следующим условиям:

КО 1. Относительно сложения А — абелева группа.

КО 2. Умножение ассоциативно и имеет единичный элемент.

КО 3. Для всех

(Эти соотношения называются дистрибутивностью.)

Как обычно, мы обозначаем единичный элемент относительно сложения через 0, а единичный элемент относительно умножения — через 1. Мы не предполагаем, что Заметим, что для всех . Доказательство: очевидно, следовательно, . В частности, если то А состоит из одного 0.

Для любых х, у имеем . Доказательство:

так что (- х)у служит обратным для относительно сложения.

Легко доказываются и другие стандартные правила, связывающие сложение и умножение, например, . Мы предоставляем это читателю в качестве упражнений.

Пусть А — кольцо и U — множество всех элементов в А, имеющих одновременно правый и левый обратный. Тогда U — мультипликативная группа. Действительно, если а имеет правый обратный b, так что и левый обратный с, так что то и мы видим, что с (или b) служит двусторонним обратным для а. Поэтому U удовлетворяет всем аксиомам мультипликативной группы и называется группой делителей единичного элемента 1 или, более кратко, группой единиц кольца А. Она иногда обозначается через А и называется также группой обратимых элементов кольца А. Кольцо А, в котором и всякий ненулевой элемент обратим, называется кольцом с делением или телом.

Кольцо А называется коммутативным, если для всех Коммутативное тело называется полем. Отметим, что по определению поле содержит по крайней мере два элемента, а именно 0 и 1.

Подмножество В кольца А называется подкольцом, если оно является аддитивной подгруппой, содержит мультипликативную единицу и если влечет . В этом случае В само есть кольцо, причем операции в В те же самые, что и в А.

Например, рассмотрим центр кольца А — подмножество, состоящее из всех элементов таких, что для всех Непосредственно видно, что центр А является подкольцом.

Точно так же, как мы выводили ассоциативность в общем случае из ассоциативности в случае трех сомножителей, можно доказать дистрибутивность в общем случае. Пусть — элементы кольца А. По индукции проверяется, что

легко также видеть, что для любых элементов и кольца А

Кроме того, дистрибутивность выполняется и для вычитания, например

Мы предоставляем все эти доказательства читателю.

Примеры. Пусть - множество, А — кольцо и - множество отображений S в А. Тогда — кольцо, если для положить

при всех Мультипликативной единицей служит постоянное отображение, значение которого есть мультипликативная единица кольца А. Аддитивной единицей служит постоянное отображение, значение которого есть аддитивная единица кольца А, т. е. 0. Проверка того, что - кольцо относительно введенных выше законов композиции, тривиальна и предоставляется читателю.

Пусть М — аддитивная абелева группа и А — множество групповых гомоморфизмов М в себя. Определим сложение в А как сложение отображений и умножение в А как композицию отображений. Тривиально проверяется, что А — кольцо. Его единичным элементом служит, разумеется, тождественное отображение. Вообще говоря, кольцо - А не коммутативно.

Левый идеал а кольца А — это подмножество в А, являющееся подгруппой аддитивной группы А, и такое, что Ласта следовательно, поскольку А содержит 1). При определении правого идеала мы требуем, чтобы а двусторонним идеалом называем подмножество, которое одновременно является левым и правым идеалом. Двусторонние идеалы в этом параграфе будут называться просто идеалами.

Если А — кольцо и то есть левый идеал, называемый главным. Говорят, что а — образующая для а (над А). Аналогично — главный двусторонний идеал. В коммутативном кольце всякий левый или правый идеал является двусторонним.

Коммутативное кольцо, в котором всякий идеал главный и называется кольцом главных идеалов.

Пример. Целые числа Z образуют коммутативное кольцо. Пусть - идеал и . Если , то . Пусть -наименьшее целое число лежащее в а. Для всякого существуют целые числа такие, что

Так. как а — идеал, то отсюда следует, что лежит в а, а потому Следовательно, а состоит из всех кратных числа d, где и Z — кольцо главных идеалов (см. также рассуждение в начале § 3).

Для всякого кольца А подмножество и само являются идеалами.

Пусть а, b — идеалы в А. Под мы понимаем множество всех сумм

где Непосредственно проверяется, что — идеал и что множество идеалов образует мультипликативный моноид, причем единичным элементом в нем служит само кольцо. Этот единичный элемент называется единичным идеалом и часто обозначается через (1). Пусть a, - левые идеалы; их произведение определяется так же, как и выше. Оно тоже является левым идеалом, и вновь имеет место ассоциативность: для любых левых идеалов с.

Если a, -левые идеалы в А, то (сумма аддитивных подгрупп в А), очевидно, будет левым идеалом. Аналогично для правых и двусторонних идеалов. Таким образом, идеалы образуют также моноид относительно сложения. При этом имеет место и дистрибутивность: если — идеалы в А, то, очевидно,

и аналогично для умножения с другой стороны. (Однако множество идеалов не образует кольца!)

Если — семейство идеалов, то их пересечение

— также идеал. Аналогично для левых идеалов. Заметим, что если а, b - два идеала кольца А, то

Пусть — элементы кольца А. Мы обозначаем через идеал, являющийся пересечением всех идеалов в А, содержащих эти элементы, или левый идеал, являющийся пересечением всех левых идеалов в А, содержащих эти элементы. Что именно имеется в виду (т. е. двусторонний или левый идеал), всегда будет ясно из контекста. Мы называем образующими этого идеала. Главный идеал (или главный левый идеал), таким образом, порождается одним элементом. Сразу видно, что левый идеал, порожденный элементами состоит из всех элементов, которые могут быть записаны в виде

где

Под кольцевым гомоморфизмом понимают отображение одного кольца в другое, являющееся моноидным гомоморфизмом для мультипликативных структур на А и В, а также моноидным гомоморфизмом для аддитивных структур. Другими словами, должно удовлетворять соотношениям

для всех а, (Точнее следовало бы писать где 1 — единица и 0 — нуль в В.) Его ядром служит ядро отображения рассматриваемого как аддитивный гомоморфизм.

Как немедленно проверяется, ядро кольцевого гомоморфизма . В является идеалом в А.

Обратно, пусть а — идеал кольца А. Мы можем построить фактор-кольцо следующим образом. Рассматривая А и а как аддитивные группы, образуем факторгруппу Определим теперь в мультипликативный закон композиции. Если — два смежных класса по а, то полагаем равным смежному классу . Этот смежный класс правильно определен, так как если лежат в тех же самых смежных классах, что и х, у соответственно, то, как немедленно проверяется, принадлежит тому же смежному классу, что и . Наш мультипликативный закон, очевидно, ассоциативен и имеет единичный элемент, а именно смежный класс . Кроме того, выполняется дистрибутивный закон, поскольку он выполняется для представителей смежных классов.

Таким образом, мы определили структуру кольца на и каноническое отображение

является, очевидно, гомоморфизмом колец.

Если — кольцевой гомоморфизм, ядро которого содержит идеал а, то существует однозначно определенный кольцевой гомоморфизм , для которого коммутативна следующая диаграмма:

Действительно, если рассматривать как групповые гомоморфизмы (для аддитивных структур), то существует однозначно определенный групповой гомоморфизм для которого наша диаграмма коммутативна. Мы утверждаем, что на самом деле g — кольцевой гомоморфизм. Можно было бы предоставить читателю это тривиальное доказательство, но мы приведем его полностью. Если то Следовательно, для имеем

Но для всяких данных существуют такие, что . Далее, так как , то и, следовательно, оба условия, необходимые для того, чтобы отображение было гомоморфизмом мультипликативных моноидов, выполняются, что и требовалось показать.

Утверждение, которое мы только что доказали, эквивалентно высказыванию, что каноническое отображение универсально в категории гомоморфизмов, ядра которых содержат а.

Пусть А — кольцо и В — его подкольцо. Пусть S — подмножество в А. Мы обозначаем через пересечение всех подколец в А, содержащих В и S. Если всякий элемент из S коммутирует с любым элементом из В, то очевидно, будет кольцом, состоящим из всех элементов вида

где сумма пробегает некоторое конечное число наборов целых чисел .

Если , то говорят, что S является множеством образующих (или, точнее, кольцевых образующих) для А над В или что А порождается множеством S над В. Если S конечно, то говорят, что А конечно порождено как кольцо над В.

Заметим, что, как и в случае групп, гомоморфизм колеи однозначно определяется своим действием на образующие. Именно, пусть — гомоморфизм колец, и пусть в предыдущих обозначениях . Тогда существует самое большее одно продолжение до гомоморфизма кольца А, имеющее предписанные значения на S.

Пусть А — кольцо, а — идеал и S — подмножество в А. Мы пишем

если . Пусть . Мы пишем

коль скоро Если а — главный идеал, равный (а), то допустима также запись

Если канонический гомоморфизм, то означает, что Эти обозначения в форме сравнений бывают удобны, когда хотят избежать явного упоминания канонического отображения

Факторкольцо называется также кольцом классов вычетов. Смежные классы кольца А по а называются классами вычетов по модулю а, и для данного смежный класс называется классом вычетов элемента по модулю а.

Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Действительно, существует обратное в теоретикомножественном смысле отображение и тривиально проверяется, что -гомоморфизм колец.

Мы иногда будем говорить просто „гомоморфизм" вместо „кольцевой гомоморфизм", если ясно, что речь идет именно о кольцах. Отметим, что кольца образуют категорию (морфизмами в которой служат гомоморфизмы).

Пусть — гомоморфизм колец. Тогда образ отображения — подкольцо в В. Доказательство очевидно.

Ясно, что инъективный кольцевой гомоморфизм устанавливает изоморфизм между кольцом А и его образом. Такой гомоморфизм будет называться вложением (колец).

Пусть — гомоморфизм колец и а — идеал в А. Тогда есть некоторый идеал а в А, и мы имеем индуцированный инъективный гомоморфизм

Тривиальное доказательство предоставляется читателю.

Предложение 1. Прямые произведения в категории колеи, существуют.

Действительно, пусть — семейство колец, и пусть — их произведение как аддитивных абелевых групп. Умножение в А определим очевидным способом: если — два элемента из А, то берем в качестве их произведения т. е. определяем умножение покомпонентно, так же как мы это делали для сложения. Мультипликативная единица — это просто элемент произведения, компонента которого является единичным элементом в . Ясно, что мы получаем на А структуру кольца и что проекция на каждый множитель будет кольцевым гомоморфизмом. Кроме того, А вместе с проекциями, очевидно, удовлетворяет необходимому свойству универсальности.

Отметим, что обычное отображение вложения на множитель не является кольцевым гомоморфизмом, поскольку оно не переводит единичный элемент кольца в единичный элемент кольца А. Действительно, оно переводит в элемент кольца А, имеющий в качестве компоненты и в качестве всех других компонент.

Пусть А — кольцо. Элементы х, у в А называются делителями нуля, если Большинство колец без делителей нуля, которые мы рассматриваем, будут коммутативными. Ввиду этого мы называем кольцо целостным, если оно коммутативно И если в нем нет делителей нуля и

Примеры. Кольцо целых чисел Z — без делителей нуля, т. е. целостное. Если S — множество, содержащее не менее двух элементов, и А — кольцо с то кольцо отображений имеет делитель нуля. (Доказательство?)

Пусть — положительное целое число Кольцо содержит делители нуля тогда и только тогда, когда — не простое. (Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.)

Часто используется следующий критерий.

Отличные от нуля элементы а, b целостного кольца А порождают один и тот же идеал тогда и только тогда, когда в А существует обратимый элемент и, для которого

Доказательство. Если такой обратимый элемент найдется» то . Обратно, пусть . Тогда, в частности, для некоторых элементов . Следовательно, откуда , а потому . Следовательно, с — обратимый элемент.