§ 5. Норма и след

Пусть Е — конечное расширение поля . Положим также

если характеристика равна и 1—в противном случае. Пусть — различные вложения Е в алгебраическое замыкание k поля k. Для всякого элемента а из определим его норму из Е в k формулой

Аналогично определяем след

След равен 0, если другими словами, если не сепарабельно. Таким образом, если Е сепарабельно над k, то

где произведение берется по всем различным вложениям Е в k над k. Аналогично, если сепарабельно, то

Теорема 8. Пусть конечное расширение. Тогда норма является мультипликативным гомоморфизмом Е в k, а след — аддитивным гомоморфизмом Е в k Если - башня полей, то оба эти отображения транзитивны, или, что равносильно,

Если , то

Доказательство Для доказательства первого утверждения заметим, что элемент сепарабелен над k, если

С другой стороны, произведение

остается неподвижным при любом изоморфизме в поскольку применение такого изоморфизма просто переставляет множители.

Следовательно, это произведение должно лежать в так как сепарабелен над . Аналогичное рассуждение применимо и к следу.

Что касается второго утверждения, то пусть — семейство различных вложений F в над Продолжим каждое до изоморфизма k на k и обозначим это продолжение по-прежнему через (Не теряя общности, мы можем предполагать, что .) Пусть — семейство вложений Е в k над F. Если а — некоторое вложение Е над k в то ттсг при каком-то j оставляет F неподвижным и, таким образом, для некоторого I. Следовательно, и, значит, семейство дает все различные вложения Е в k над k. В башнях степень несепарабельности мультипликативна, так что наше утверждение о транзитивности нормы и следа очевидно, поскольку, как мы уже показали, отображает Е в F, и аналогично для следа.

Предположим теперь, что . Имеем

где — различные корни Рассмотрение постоянного члена дает нам выражение для нормы, а рассмотрение второго члена — выражение для следа.

Заметим, что след является -линейным отображением поля Е в а именно

для всех . Это очевидно, поскольку с остается неподвижным при всяком вложении Е над Таким образом, след есть - линейный функционал из в . Для простоты мы будем писать вместо

Теорема 9. Пусть Е — конечное сепарабельное расширение поля . Тогда функционал ненулевой. Отображение определяемое правилом

билинейно и отождествляет Е с дуальным ему пространством.

Доказательство. Тот факт, что отличен от нуля, следует из теоремы линейной независимости характеров. Для всякого отображение

для которого будет, очевидно, -линейным, и отображение

будет -гомоморфизмом Е в дуальное ему пространство Е. (Мы не обозначаем сейчас дуальное пространство через ?, используя звездочку для обозначения мультипликативной группы поля Е.) Если — нулевое отображение, то . Но при . Следовательно, ядро отображения равно 0 и мы получаем инъективный гомоморфизм Е в дуальное пространство Е. Так как эти пространства имеют одинаковую размерность, то, значит, мы получаем изоморфизм. Это доказывает нашу теорему.

Следствие 1. Пусть — базис Е над k. Тогда существует базис пространства Е над k, для которого

Доказательство. Базис есть не что иное, как дуальный базис, который мы определили, когда рассматривали дуальное пространство для произвольного векторного пространства.

Следствие 2. Пусть Е — конечное сепарабельное расширение поля k и — множество различных вложений Е в k над k. Пусть — некоторые элементы из Е. Тогда векторы

линейно независимы над k в том и только в том случае, если образуют базис Е над k.

Доказательство. Предположим, что образуют базис расширения Пусть — элементы из k, для которых

Тогда отображение

примененное к каждому из элементов дает 0. Но линейно независимы как характеры мультипликативной группы Е в k. Отсюда вытекает, что для и наши векторы линейно независимы.

(обратно, предположим, что линейно зависимы над k. Тогда в Е найдется элемент для которого при всех , откуда

А это и означает, что векторы линейно зависимы.

Замечание. В случае характеристики 0 тот факт, что след не равен тождественно 0, совсем тривиален. Действительно, если , то , где . Это соображение сохраняет силу также и в случае характеристики , взаимно простой с .

Предложение 1. Пусть -сепарабельное расширение, f и - производная многочлена . Пусть

где Тогда дуальным базисом для будет

Доказательство. Пусть различные корни

Тогда

Чтобы усмотреть это, обозначим через разность левой и правой частей этого равенства. Тогда g — многочлен степени не более имеющий корней с, Следовательно, g тождественно равен нулю.

Многочлены

все сопряжены между собой. Если мы назовем следом многочлена с коэффициентами в Е многочлен, полученный применением следа к коэффициентам, то

Рассмотрев коэффициенты при каждой степени X в этом равенстье, мы найдем, что

что и доказывает наше предложение.