§ 9. Сверхразрешимые группы

Пусть — конечная группа. Мы будем говорить, что О сверхразрешима, если существует такая последовательность подгрупп

что каждая подгруппа G; нормальна в G, и циклическая группа простого порядка.

Мы знаем из теории -групп, что всякая -группа сверхразрешима и что этим свойством обладает также прямое произведение р-rруппы с абелевой группой.

Предложение 15. Всякая подгруппа и. всякая факторгруппа сверхразрешимой группы сверхразрешимы.

Доказательство. Очевидно (использовать стандартные теоремы о гомоморфизмах).

Предложение 16. Пусть G — неабелева сверхразрешимая группа. Тогда существует нормальная абелева подгруппа, которая собственным образом содержит центр.

Доказательство. Пусть С — центр группы Н—нормальная подгруппа простого порядка в G и полный прообраз в G при каноническом отображении Если — образующая Н, то прообраз а элемента а вместе с С порождает Н. Следовательно, Н абелева, нормальна и собственным образом содержит центр.

Теорема 13 (Бликфельд). Пусть G — сверхразрешимая группа, k — алгебраически замкнутое поле, и пусть Е — простое -пространство. Если то существуют собственная подгруппа Н в G и простое -подпространство F в Е, такие, что модуль Е индуцирован подмодулем

Доказательство. Так как простое представление над абелевой группой одномерно, то из наших условий вытекает, что G неабелева.

Мы дадим сначала доказательство нашей теоремы при дополнительном предположении, что модуль Е — точный. (Это означает, что из условия для всех следует, что .) В конце мы легко избавимся от этого ограничения.

Лемма. Пусть G — конечная группа и k — алгебраически замкнутое поле, . Пусть Е — простое точное -пространство над k. Предположим, что в G имеется нормальная абелева подгруппа Н, собственным образом содержащая центр G. Тогда существуют собственная подгруппа , в G, содержащая Н и простое Н-пространство F, такие, что Е есть индуцированный модуль модуля F с на .

Доказательство. Рассмотрим Е как - пространство. Оно является прямой суммой простых Н-пространств, и так как Н абелева, каждое такое простое Н-пространство одномерно.

Пусть порождает одномерное Н-пространство и его характер. Если также порождает одномерное Н-пространство с тем же самым характером то для всех имеем

Обозначив через F подпространство в Е, порожденное всеми одномерными Н-подпространствами, имеющими характер получаем разложение в Н-прямую сумму

Мы утверждаем, что . В противном случае пусть

Тогда по предположению порождает одномерное Н-пространство, имеющее характер Следовательно, для имеем

Это показывает, что одинаково действуют на элемент v из Е. Так как Н не содержится в центре G, то существуют такие, что , и мы получили противоречие с предположением, что представление — точное.

Докажем, что О транзитивным образом переставляет пространства

Пусть Для любых имеем

где — функция на Н, задаваемая правилом Это показывает, что а отображает . Однако в силу симметрии отображает и эти два отображения дают взаимно однозначное соответствие между Таким образом, переставляет пространства

Пусть Для некоторого фиксированного Тогда Е есть -подпространство в Е, и так как Е предполагается простым, то Это доказывает, что пространства переставляются транзитивно.

Пусть для некоторого фиксированного есть Н-подпространство в Е. Пусть — подгруппа, состоящая из всех таких элементов что . Тогда Нхфв, так как . Мы утверждаем, что -простое -пространство и что Е есть индуцированное пространство пространства , на

Чтобы это увидеть, возьмем разложение группы G на правые смежные классы относительно подгруппы Элементы образуют систему представителей левых смежных классов относительно подгруппы Так как

то

Мы утверждаем, что эта последняя сумма прямая и — простое -пространство.

Так как G переставляет пространства то по определению Н, есть группа изотропии элемента F при действии G на этом множестве пространств, и что, следовательно, элементы орбиты — это в точности где с пробегает все смежные классы.

Таким образом, пространства различны, и мы имеем разложение в прямую сумму

Если -собственное подпространство в F, то собственное G-подпространство в , вопреки предположению, что Е простое. Это доказывает наше утверждение.

Применяя теперь теорему 11, заключаем, что Е — модуль, индуцированный F, что и доказывает теорему 13 в том случае, когда — точный модуль.

Предположим теперь, что Е неточный. Пусть — нормальная подгруппа в G, служащая ядром представления Положим Тогда Е дает точное представление для О. Поскольку неодномерно, неабелева и существуют собственная подгруппа Н в и простое -пространство F, такие, что

Пусть Н — полный прообраз Н при естественном отображении Тогда и F — простое Н-пространство. При действии G как группы перестановок на множестве -подпространств как мы знаем, Н есть подгруппа изотропии одного из элементов. Следовательно, Н есть подгруппа изотропии в при том же самом действии. Снова применяя теорему 11, заключаем, что индуцировано F, т. е.

и тем самым теорема 13 доказана.

Следствие. Пусть - произведение -группы и циклической группы, — алгебраически замкнутое поле, Если E — простое -пространство и индуцируется одномерным представлением некоторой подгруппы.

Доказательство. Применяем теорему шаг за шагом, используя транзитивность индуцированных представлений, пока не получим одномерное представление некоторой подгруппы.