§ 7. Дифференцирования

Дифференцированием D кольца R называется отображение кольца R в себя, линейное и удовлетворяющее обычным правилам для производных, т. е. . В качестве примера рассмотрим колыю многочленов над полем k. Для каждой переменной взятие обычной частной производной является дифференцированием в Мы можем также очевидным образом получить дифференцирование в поле частных, а именно положив

Мы будем работать с дифференцированиями поля ЛГ. Дифференцирование в К называется тривиальным, если для всех . Оно называется тривиальным на подполе , если для всех . В этом случае говорят также, что D есть дифференцирование поля К над k. На простом поле дифференцирование всегда тривиально: имеем

Рассмотрим теперь задачу о продолжении дифференцирований. Пусть — конечно порожденное расширение. Для обозначаем через многочлены вычисленные в Когда существует дифференцирование D на L, совпадающее с заданным дифференцированием D на К. Если — многочлен, обращающийся в нуль на множестве то любое такое дифференцирование D должно удовлетворять соотношению

где обозначает многочлен, получаемый применением D ко всем коэффициентам Отметим, что если соотношение (1) выполняется для всякого обращающегося в нуль на элемента из конечного множества образующих идеала в , то (1) выполняется для всякого многочлена из этого идеала. Это непосредственное следствие из правил дифференцирования. Упомянутый идеал будет иногда называться идеалом в , определенным множеством

Предыдущее необходимое условие для существования D оказывается также и достаточным.

Теорема 7. Пусть - дифференцирование поля - произвольное множество величин и — множество образующих для идеала в , определенного множеством . Если тогда — любое множество элементов из удовлетворяющих уравнениям

то существует одно и только одно дифференцирование D поля совпадающее с D на К и такое, что для всякого

Доказательство. Необходимость была показана выше. Обратно, если лежат в ЛГ то непосредственно проверяется, что отображение D, определенное формулами

правильно определено и является дифференцированием поля

Рассмотрим частный случай, когда состоит из одного элемента . Пусть D — заданное дифференцирование на К.

Случай 1. Элемент — сепарабельный алгебраический над К. Пусть неприводимый многочлен, которому удовлетворяет над К. Тогда . Имеем

откуда Следовательно, D продолжается на однозначно Если D тривиально на К, то D тривиально и на

Случай 2. Элемент трансцендентен над К. Тогда D продолжается, причем элемент и может быть выбран в произвольным образом.

Случай 3. Элемент чисто несепарабелен над К, так что , где . Тогда D продолжается на в том и только в том случае, если . В частности, если D тривиально на К, то элемент и может быть выбран произвольным образом

Предложение 7. Конечно порожденное расширение над К тогда и только тогда является сепарабельным алгебраическим, когда всякое дифференцирование D поля тривиальное на К, тривиально и на

Доказательство. Если — сепарабельное алгебраическое расширение поля К, то это случай 1. Наоборот, если оно не является сепарабельным алгебраическим, то мы можем соорудить башню расширений между К и каждый этаж которой относится к одному из трех рассмотренных выше случаев. По крайней мере один этаж будет относиться к случаю 2 или 3. Рассмотрев самый верхний этаж этого типа, мы тотчас увидим, как построить дифференцирование, тривиальное на основании и нетривиальное на вершине башни.

Предложение 8. Пусть даны поле К и элементы из некоторого его расширения, причем существуют многочленов таких, что

Тогда — сепарабельное алгебраическое над К.

Доказательство. Пусть D — дифференцирование на тривиальное на К. Поскольку мы должны иметь откуда вытекает, что удовлетворяют линейным уравнениям, матрица из коэффициентов которых имеет ненулевой определитель. Следовательно, так что D тривиально на . Поэтому — сепарабельное алгебраическое над К.

Следующее предложение непосредственно вытекает из рассмотренного выше случая 3.

Предложение 9. Пусть — конечно порожденное расширение поля к. Элемент z из К тогда и только тогда лежит в когда для всякого дифференцирования D поля К над

Доказательство. Если z лежит в , то, очевидно, всякое дифференцирование D поля К над k обращается в нуль на z. Обратно, если то 2 чисто несепарабелен над и, согласно рассмотренному выше случаю 3, мы можем найти дифференцирование D, тривиальное на и такое, что . Это дифференцирование определено сначала только на поле Его можно продолжить на К следующим образом. Предположим, что имеется элемент такой, что . Тогда и D обращается в нуль на . Мы можем снова применить случай 3, чтобы продолжить D с на Продвигаясь так шаг за шагом, мы в конце концов достигнем К и тем докажем наше предложение.

Дифференцирования поля К образуют векторное пространство над К, если определить для формулой

Пусть К — конечно порожденное расширение поля k размерности над k. Обозначим через - векторное пространство дифференцирований поля К над k. Для всякого имеем спаривание

пространств в К. Всякий элемент z поля К определяет, таким образом, -линейный функционал на . Этот функционал обозначается через Имеем

Эти линейные функционалы порождают дуальное к пространство если определить у условием

Предложение 10. Предположим, что К — конечно порожденное сепарабельное расширение поля k, имеющее степень трансцендентности . Тогда векторное пространство (над К) дифференцирований поля К над k имеет размерность . Элементы поля К образуют сепарирующий базис трансцендентности для К над k в том и только в том случае, если образуют базис дуального к 3) пространства над К.

Доказательство. Если — сепарирующий базис трансцендентности для К над k, то, согласно случаям 1 и 2 теоремы о продолжении, мы можем найти дифференцирования поля К над k, для которых

Для заданного положим . Тогда ясно, что так образуют базис пространства 3 над образуют дуальный базис. Обратно, если образуют базис для над К, а К не является сепарабельным алгебраическим над то, согласно предложению 7, мы можем найти дифференцирование D, которое тривиально на но нетривиально на К. Тогда для всех , что противоречит тому факту, что есть базис дуального пространства. Следовательно, К является сепарабельным алгебраическим над . Элементы алгебраически независимы, так как в противном случае степень трансцендентности К над k была бы меньше . Игак, образуют сепарирующий базис для К над

Следствие. Пусть К — конечно порожденное сепарабельное расширение поля k и z — элемент из К, трансцендентный над k. Тогда К сепарабельно над в том и только в том случае, если существует дифференцирование D поля К над k, такое, что

Доказательство. Если К сепарабельно над то z допускает включение в сепарирующий базис для К над k, и мы можем применить предложение Если то и мы можем включить в базис пространства над К. Опять-таки из предложения вытекает, что К сепарабельно над