УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать на примере, что следствие 2 § 3 перестает быть верным, если упорядочение поля k не предполагать архимедовым (в чем дело?). [Указание (Dubois D. W„ Notices Amer. Math. Soc., 1967. 14, № 3, 67T - 288). Пусть Q — поле рациональных чисел, t — переменная; на 
вводится упорядочение, относительно которого 
— бесконечно малая величина. Пусть К — вещественное замыкание поля 
где каждое 
— промежуточное поле, 
не допускающее квадратичного расширения в К. Положить 
2. Пусть а алгебраично над 
— вещественное поле. Доказать, что а будет суммой квадратов в 
тогда и только тогда, когда 
для всякого вложения а поля 
в 
3. Пусть F — конечное расширение поля Q и 
— 
-линейный функционал, такой, что 
для всех 
Пусть 
Показать, что если 
для всех 
то а является суммой квадратов в F и F чисто вещественно, т. е. всякое вложение F в поле комплексных чисел содержится в поле вещественных чисел. [Указание: использовать тот факт, что след дает отождествление F с его дуальным пространством над Q, и применить аппроксимационную теорему из гл. XII, § 1.]
4. Прочитать формулировки результатов в статье „Теория вещественных точек” (Lang S., The theory of real places, Ann. Math., 1953, 378—391) и доказать эти результаты, не заглядывая в доказательства, данные в статье.
S. Пусть 
— вещественный интервал и 
— вещественный многочлен, положительный на этом интервале. Показать, что 
может быть записан в виде
где 
обозначает квадрат. [Указание: разложить многочлен и использовать тождество
6. Показать, что поле вещественных чисел имеет только тождественный автоморфизм. [Указание: показать, что автоморфизм сохраняет упорядочение.]
