§ 13. Спектральная теорема (симметрический случай)

Пусть Е—векторное пространство над полем вещественных чисел, g — симметрическая положительно определенная форма на Е. Если — линейное отображение, то, как мы знаем, сопряженное к нему относительно g отображение определяется условием

для всех Мы говорим, что отображение А симметрическое, если Как и прежде, элемент называется собственным вектором А, если существует число такое, что и если , то называется собственным значением.

Спектральная теорема (симметрический случай). Пусть Е — ненулевое векторное пространство над полем вещественных чисел, - симметрическое линейное отображение. Тогда Е обладает ортогональным базисом, состоящим из собственных векторов отображения А.

Доказательство. Мы сведем теорему к эрмитову случаю. Для этого введем комплексную оболочку (или комплексификацию пространства Е. Пусть

— прямая сумма Е с собой. Если - комплексное число, а, и если — элемент из где то определяем действие С на формулой

Прямое вычисление показывает, что будет векторным пространством над С. Если мы отождествим Е с первым слагаемым, а именно с то увидим, что

и с учетом этого отождествления определенная выше операция мотивируется тем фактом, что

Если , где , то определим положив

Тогда является С-линейным отображением в себя, как видно непосредственно из определений.

Введем теперь эрмитову форму на Если

то положим

Снова непосредственно проверяется, что h — эрмитова положительно определенная форма, так как g — симмметрическая положительно определенная форма. Кроме того, из определений тотчас вытекает, что отображение эрмитово относительно

Применим спектральную теорему для эрмитовых отображений. Мы можем найти ортогональный базис пространства над С, состоящий из собственных векторов отображения с вещественными собственными значениями соответственно. Запишем

где По определению собственного вектора имеем

Но

Следовательно, . Среди собственных векторов отображения А заведомо имеется линейно независимых. Дополнительная ортогонализация Грама — Шмидта тех из них, которые соответствуют одному и тому же собственному значению , приводит к искомому ортогональному базису для Е над R. Теорема доказана.

Замечания. Спектральные теоремы справедливы над любым вещественно замкнутым полем; наши доказательства сохраняются без изменений. Кроме того, эти доказательства разумным образом близки к тем, которые могли бы быть даны в анализе для гильбертовых пространств и компактных операторов. Существование собственных значений и собственных векторов, однако, должно быть доказано другим методом, например, с использованием теоремы Гельфанда, которую мы фактически доказали в гл. XII, или вариационного принципа (т. е. нахождения максимума или минимума квадратичной функции, зависящей от оператора).

Следствие 1. В предположениях теоремы существует ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов отображения А.

Доказательство. Разделим каждый вектор ортогонального базиса на его норму.

Следствие 2. Пусть Е — ненулевое векторное пространство над полем вещественных чисел с положительно определенной симметрической формой Пусть g — другая симметрическая форма на Е. Тогда существует базис Е, ортогональный и для и для

Доказательство. Будем писать . Так как форма будучи положительно определенной, неособая, то существует однозначно определенное симметрическое линейное отображение А, такое, что для всех Применим к А теорему и найдем указанный в ней базис. Ясно, что это ортогональный базис для аналогичное доказательство в эрмитовом случае).