УПРАЖНЕНИЯ

1. Какова группа Галуа над полем рациональных чисел уравнения

2. Указать многочлен степени 6, группа Галуа которого была бы симметрической группой на 6 элементах.

3. Пусть К — расширение Галуа поля рациональных чисел Q с группой — целое замыкание кольца Z в К, и пусть элемент таков, что . Положим и предположим, что остается нзприводимым над где — некоторог простое число. Что вы можете сказать о группе Галуа

4. Пусть А — целостное кольцо, К — его поле частных и t — трансцендентный элемент над К. Показать, что если А целозамкнуто, то также целозамкнуто.

S. Пусть А — целостное кольцо, целозамкнутое в своем поле частных К, L — конечное сепарабельное расширение поля К и В — целое замыкание А в L. Показать, что если А нетерево, то В — конечный А-модуль. [Указание: пусть -базис поля L над К. Умножив все элементы этого базиса на подходящий элемент из А, мы можем, не теряя общности, считать, что все — целые над А. Пусть — дуальный базис относительно следа, так что Запишем а из L, целый над А, в виде

где . Взяв след для заключаем, что В содержится в конечном модуле

6. Предыдущее упражнение применимо к случаю, когда и К — Q. Всякое конечное расширение поля Q называется числовым полем, а целое замыкание кольца Z в таком расширении L называется кольцом целых алгебраических чисел поля L. Обозначим его через

Пусть — различные вложения L в поле комплексных чисел. Вложим в евклидово пространство посредством отображения

Показать, что в любой ограниченной области пространства имеется лишь конечное число элементов из [Указание: коэффициенты в целом уравнении для а являются элементарными симметрическими функциями от сопряженных с а элементов и, таким образом, являются ограниченными целыми числами.] Использовать упражнение 10 из гл. 111 для вывода, что есть свободный -модуль размерности . Показать, что в действительности его размерность равна , причем базис над Z служит также базисом L над

7. Пусть Е — конечное расширение над — кольцо целых алгебраических чисел поля Е; U — группа единиц кольца — различные вложения в С. Отобразим U в евклидово пространство посредством отображения

Показать, что — конечно порожденная свободная абелева группа, установив, что в любой конечной области пространства имеется лишь конечное число элементов из I (U). Показать, что ядро отображения I — конечная группа, являющаяся поэтому группой корней из единицы в Е. Таким образом, сама группа U — конечно порожденная абелева группа.

8. Используя лемму Цорна, обобщить результаты § 2, особенно предложения 11 и 14, на бесконечные расширения Галуа.