§ 2. Основные свойства

Самым основным соотношением, связывающим линейные отображения, билинейные отображения и тензорное произведение, является следующее: для трех модулей

Содержащиеся здесь изоморфизмы описываются естественным образом

Если — билинейное отображение , то отображение

для которого , линейно. Кроме того, отображение также линейно, и для получения именно это отображение и сопоставляется

Пусть — билинейное отображение, для которого

Тогда определяет .

Ясно, что гомоморфизмы взаимно обратны и поэтому дают изоморфизм первых двух объектов в рамке.

Это то отображение, которое сопоставляет каждому билинейному отображению индуцированное линейное отображение . Сопоставление -инъективно (так как однозначно определяет ) и сюръективно, так как любое линейное отображение тензорного произведения в композиции с каноническим отображением определяет билинейное отображение на

Предложение 3. Пусть — прямая сумма. Имеет место изоморфизм

Доказательство. Изоморфизм задается абстрактной чепухой. Фиксируем F и рассмотрим функтор . Как мы видели выше, линеен. Имеем проекции прямой суммы Е на причем

Применив функтор , мы видим, что удовлетворяют тем же соотношениям и, следовательно, дают разложение в прямую сумму. Отметим, что .

Следствие. Пусть — некоторое множество индексов и Имеет место изоморфизм

Доказательство. Пусть - конечное подмножество в . Имеем последовательность отображений

первое из которых билинейно, а второе, индуцированное включением S в линейно. Действительно, первое отображение очевидно. Если то тривиальная коммутативная диаграмма показывает, что ограничение отображения

индуцирует наше предыдущее отображение на сумме по . Но мы имеем вложение

Следовательно, в силу согласованности отображений с такими вложениями мы можем определить билинейное отображение

а потому и линейное отображение

Аналогичным образом определяется отображение в противоположном направлении, и ясно, что эти отображения взаимно обратны; следовательно, они дают изоморфизм.

Предположим теперь, что Е — свободный модуль размерности I над k. Пусть - его базис. Рассмотрим Всякий элемент из может быть записан в виде суммы членов где Однако Далее, при суммировании таких членов мы можем использовать линейность слева

Следовательно, всякий элемент имеет в действительности вид с некоторым

Имеем билинейное отображение

такое, что , которое индуцирует линейное отображение

Имеем также линейное отображение задаваемое формулой . Ясно, что эти отображения взаимно обратны, и, следовательно, имеем изоморфизм . Таким образом, всякий элемент из может быть единственным образом записан в виде

Предложение 4. Пусть Е — свободный модуль над k с базисом Тогда всякий элемент из имеет однозначное представление вида

где почти все

Доказательство. Это тотчас вытекает из рассмотрения одномерного случая и следствия предложения 1.

Следствие. Пусть Е, F — свободные модули над k с базисами и соответственно. Тогда модуль свободен и имеет базис При этом

Доказательство. Непосредственно вытекает из предложения.

Мы видим, что когда модуль Е свободен над k, в тензорном произведении не происходит никаких съеданий. Всякий элемент из может рассматриваться как „формальная" линейная комбинация элементов из базиса Е с коэффициентами в

В частности, мы видим, что тензорное произведение изоморфно Е относительно соответствия

Предложение S. Пусть - свободные модули конечной размерности над k. Имеет место изоморфизм

являющийся однозначно определенным линейным отображением, таким, что

[Отметим, что тензорное произведение слева взято в тензорном произведении двух модулей

Доказательство. Пусть - базис Е и — базис F. Тогда есть базис Для всякой пары индексов существуют однозначно определенные эндоморфизмы модуля Е и модуля F, такие, что

Далее, семейства образуют базисы для соответственно. Затем

Таким образом, семейство есть базис для Так как семейство является базисом для то утверждение нашего предложения становится теперь очевидным.

Предложение 5 показывает, что двусмысленность в использовании обозначения не является на самом деле двусмысленностью в важном частном случае свободных конечномерных модулей. Позднее мы встретимся с важным приложением предложения 5, когда мы будем рассматривать тензорную алгебру модуля.

Предложение 6. Пусть

— точная последовательность и F — произвольный модуль.

Тогда последовательность

— точная.

Доказательство. Для заданных существует элемент такой, что и, следовательно, есть образ элемента при линейном отображении

Поскольку элементы вида порождают , то мы заключаем, что предыдущее линейное отображение сюръективно. Тривиально проверяется также, что образ отображения содержится в ядре

Обратно, пусть — образ отображения и

— каноническое отображение. Построим линейное отображение

такое, что Отсюда, очевидно, будет следовать инъективность чем и будет доказано искомое обратное включение.

Пусть Возьмем элемент для которого Определим отображение положив

Мы утверждаем, что это отображение правильно определено, т. е. не зависит от выбора элемента для которого . Если , то и по предположению для некоторого . Тогда

Это показывает, что у и доказывает, что наше отображение правильно определено. Оно, очевидно, билинейно и, следовательно, может быть пропущено через некоторое линейное отображение g тензорного произведения. Очевидно, что ограничение на элементы вида тождественно. А так как эти элементы порождают то заключаем, что инъективно, что и требовалось показать.

Не всегда верно, что точна последовательность

Она точна, если первая последовательность в предложении 6 расщепляется, т. е., по существу, если Е есть прямая сумма Это тривиальное следствие предложения 3, но читателю рекомендуется проследить детали, чтобы привыкнуть к формализму тензорного произведения.

Предложение 7. Пусть а — идеал в k, Е — модуль над k. Тогда отображение индуцированное сопоставлением

билинейно и индуцирует изоморфизм

Доказательство. Наше отображение очевидно, индуцирует билинейное отображение на и, следовательно, - линейное отображение на Мы можем построить обратное отображение, поскольку имеется правильно определенное линейное отображение

такое, что , где есть класс вычетов элемента 1 в . Ясно, что содержится в ядре этого последнего линейного отображения, и, таким образом, мы получаем гомоморфизм

который, как непосредственно проверяется, является обратным по отношению к гомоморфизму, описанному в формулировке предложения.

Сопоставление часто называется отображением редукции. В следующем параграфе мы дадим интерпретацию этого отображения как некоторого расширения основного кольца.