§ 7. Чисто несепарабельные расширения

Этот параграф имеет чисто технический характер и может быть опущен почти без ущерба для понимания остальной части книги.

Мы всюду предполагаем, что поле характеристики

Элемент а, алгебраический над k, называется чисто несепарабельным над k, если существует целое число , такое, что лежит в

Пусть Е — алгебраическое расширение поля k. Мы утверждаем, что следующие условия эквивалентны:

Ч. Нес. 1.

Ч. Нес. 2. Всякий элемент а из Е чисто несепарабелен над

Ч. Нес. 3. Неприводимое уравнение для всякого элемента над k имеет вид при некоторых

Ч. Нес. 4. Существует такое множество образующих поля Е над k, что каждый элемент чисто несепарабелен над

Чтобы доказать эту эквивалентность, допустим, что выполняется Ч. Нес. 1. В силу теоремы 6 заключаем, что Пусть . Тогда имеет только один корень, поскольку

равна числу различных корней многочлена . Положим . Тогда и разложение над (а) имеет вид . Но , где — целое число, взаимно простое с . Поэтому

Так как коэффициенты многочлена лежат в то

лежит в и так как то лежит в

Пусть . Тогда а есть корень многочлена делящегося на f (X). Отсюда вытекает, что

По существу то же самое рассуждение, что и предыдущее, показывает, что Ч. Нес. 2 влечет Ч. Нес. 3. То, что третье условие влечет четвертое, тривиально.

Наконец, предположим, что выполняется Ч. Нес. 4. Пусть Е — расширение, порожденное чисто несепарабельными элементами Любое вложение поля Е над отображает а, в корень многочлена

Но делит некоторый многочлен имеющий только один (кратный) корень. Следовательно, любое вложение поля Е над тождественно на каждом , а потому тождественно на и мы заключаем, что что и требовалось доказать.

Расширение, удовлетворяющее четырем предыдущим условиям, будет называться чисто несепарабельным.

Предложение 10. Чисто несепарабельные расширения образуют отмеченный класс расширений.

Доказательство. Утверждение о башне вытекает из теоремы 6, а свойство подъема из условия Ч. Нес. 4.

Предложение 11. Пусть Е — алгебраическое расширение поля и пусть - композит всех подполей F поля Е, таких, что сепарабельно над Тогда сепарабельно над а Е чисто несепарабельно над

Доказательство. Поскольку сепарабельные расширения образуют отмеченный класс, то, как мы знаем, сепарабельно над . Фактически состоит из всех элементов Е, сепарабельных над . В силу предложения 9 для заданного элемента , существует такая степень р, скажем , что сепарабелен над Следовательно, Е чисто несепарабельно над что и требовалось показать.

Следствие 1. Если алгебраическое расширение Е поля одновременно и сепарабельно, и чисто не сепарабельно, то

Доказательство. Очевидно.

Следствие 2. Пусть расширение К нормально над и пусть К -его максимальное сепарабельное подрасширение. Тогда также нормально над

Доказательство. Пусть — вложение в К над Продолжим до вложения поля К. Тогда а будет автоморфизмом К.

Кроме того, поле сепарабельно над k, следовательно, оно содержится в поскольку -максимальное сепарабельное подполе. Значит, что и утверждалось.

Следствие 3. Пусть Е, F — два конечных расширения поля k, причем сепарабельно, чисто несепарабельно. Предположим, что Е, F — подполя некоторого общего поля. Тогда

Доказательство. Картина имеет следующий вид:

Доказательство состоит в тривиальном жонглировании индексами с использованием следствий предложения 9. Мы предоставляем его читателю.

Следствие 4. Обозначим через поле всех элементов вида . Пусть Е — конечное расширение поля k. Если то Е сепарабельно над k. Если Е сепарабельно над k, то для всех

Доказательство. Пусть максимальное сепарабельное подполе в Е. Допустим, что . Положим . Так как Е чисто несепарабельно над , то существует такое , что для всех . Следовательно, . Но , так что сепарабельно над k. Обратно, предположим, что Е сепарабельно над k. Но Е чисто несепарабельно над . Так как в то же время сепарабельно над , то заключаем, что Итерируя, получаем для , что и требовалось доказать.

Предложение 11 показывает, что любое алгебраическое расширение может быть разложено в башню, состоящую из максимального сепарабельного подрасширения и чисто несепарабельного этажа над ним. Обычно бывает нельзя обратить порядок в этой башне. Однако имеется важный случай, когда это может быть сделано.

Предложение 12. Пусть К — нормальное расширение поля k, G — его группа автоморфизмов над k и — неподвижное поле группы G. Тогда чисто несепарабельно над k и К сепарабельно над

Если — максимальное сепарабельное подрасширение К, то

Доказательство. Пусть — произвольное вложение поля над k в К. Продолжим до вложения поля К; будем обозначать это продолжение по-прежнему через . Тогда — автоморфизм поля К, поскольку К нормально над k. По определению и, следовательно, тождественно на k (а). Поэтому и элемент а чисто несепарабелен. Таким образом, чисто несепарабельно над k. Пересечение одновременно и сепарабельно, и чисто несепарабельно над k, и, следовательно, равно

Чтобы доказать сепарабельность К над предположим сначала, что К конечно над k и что, следовательно, группа G конечна в силу теоремы 6. Пусть и пусть — максимальное подмножество элементов из G, такое, что элементы

различны. Тогда некоторое тождественно на а и а есть корень многочлена

Заметим, что для любого , поскольку переставляет корни. Мы видим, что сепарабелен и что его коэффициенты лежат в неподвижном поле Поэтому а сепарабелен над . Редукция бесконечного случая к конечному основывается на том наблюдении, что всякий элемент содержится в некотором конечном нормальном подрасширении в К. Детали мы предоставляем читателю.

Теперь имеем следующую диаграмму:

В силу предложения 11 К чисто несепарабельно над и, следовательно, чисто несепарабельно над . С другой стороны, К сепарабельно над и, следовательно, сепарабельно над Таким образом, , что и доказывает наше предложение.

Мы видим, что всякое нормальное расширение распадается в композит чисто несепарабельного и сепарабельного расширений. В следующей главе мы определим расширение Галуа как нормальное сепарабельное расширение. Тогда будет расширением Галуа над k и нормальное расширение распадается на расширение Галуа и чисто несепарабелыюе расширение. Группа G называется группой Галуа расширения

Поле k называется совершенным, если (Всякое поле характеристики нуль также называется совершенным.)

Следствие. Если поле k совершенно, то любое его алгебраическое расширение сепарабельно. Всякое алгебраическое расширение поля k совершенно.

Доказательство. Всякое конечное алгебраическое расширение содержится в нормальном расширении, поэтому наши утверждения непосредственно следуют из предложения 12.