§ 4. Полупростые кольца

Кольцо R называется полупростым, если и R полупросто как левый модуль над собой.

Предложение 4. Если R полупросто, то всякий -модуль полупрост.

Доказательство. Всякий -модуль является фактормодулем свободного модуля, а свободный модуль есть прямая сумма R с собой некоторое число раз. Чтобы завершить доказательство, мы можем теперь применить предложение 3.

Всякий левый идеал кольца R является -модулем; он называется простым, если он прост как модуль. Два идеала L, L называются изоморфными, если они изоморфны как модули.

Разложим теперь R в прямую сумму своих простых левых идеалов и получим тем самым структурную теорему для

Пусть такое семейство простых левых идеалов, что никакие два идеала в нем не изоморфны и всякий простой левый идеал изоморфен одному из идеалов этого семейства. Мы будем говорить, что это семейство является семейством представителей для классов простых левых идеалов относительно изоморфизма.

Лемма. Пусть L — простой левый идеал и Е — простой -модуль. Если L неизоморфен Е, то

Доказательство. Имеем и есть подмодуль в Е, равный, следовательно, 0 или Е. Предположим, что . Пусть элемент таков, что

Так как — подмодуль в Е, то Отображение идеала L в Е является гомоморфизмом L в Е, сюръективным и, следовательно, ненулевым. Поскольку L прост, то этот гомоморфизм должен быть изоморфизмом.

Пусть

— сумма всех простых левых идеалов, изоморфных Из леммы следует, что если

В последующем это будет постоянно использоваться. Отметим, что есть левый идеал и что R представляется в виде суммы

так как R — сумма простых левых идеалов. Следовательно, для любого

где первое включение справедливо, поскольку R содержит единичный элемент, а последнее, — поскольку есть левый идеал. Таким образом, является также правым идеалом, т. е. — двусторонний идеал для всякого

Мы можем представить единичный элемент 1 кольца R в виде суммы

где Эта сумма на самом деле конечна, почти все Пусть, скажем, для так что

Пусть . Запишем

Для имеем , а также

Кроме того, Это доказывает, что индексов I, отличных от 1, s, в сумме нет, а также, что компонента элемента однозначно определена как Следовательно, сумма — прямая и, кроме того, служит единичным элементом для которое является поэтому кольцом. Так как для то мы видим, что в действительности

есть прямое произведение колец

Кольцо R называется простым, если оно полупросто и имеет только один класс простых левых идеалов относительно изоморфизма. Таким образом, мы доказали структурную теорему для полупростых колец.

Теорема 2. Пусть R — полупростое кольцо. Существует только конечное число неизоморфных простых левых идеалов, скажем

Если — сумма всех простых левых идеалов, изоморфных , то — двусторонний идеал, который является также кольцом (с операциями, индуцированными R), и кольцо R изоморфно прямому произведению

Каждое является простым кольцом. Если — его единичный элемент, то . Далее, при

Перейдем теперь к модулям.

Теорема 3. Пусть R — полупростое кольцо и -модуль Ф 0. Тогда

причем — подмодуль в Е, равный сумме всех простых подмодулей, изоморфных

Доказательство. Пусть Е, — сумма всех простых подмодулей в Е, изоморфных . Если V — простой подмодуль в Е, то и, следовательно, для некоторого I. В силу предыдущей леммы имеем Следовательно, Е есть прямая сумма

Наконец, ясно, что

Следствие 1. Пусть кольцо R полупросто. Тогда всякий простой модуль изоморфен одному из простых левых идеалов

Следствие 2. Простое кольцо имеет с точностью до изоморфизма только один простой модуль.

Оба эти следствия непосредственно вытекают из теорем 2 и 3.