УПРАЖНЕНИЯ

1. (а) Назовем радикалом кольца R левый идеал N, являющийся пересечением всех максимальных левых идеалов в R. Показать, что для всякого простого -модуля Е. Показать, что N — двусторонний идеал. (б) Показать, что радикал кольца равен 0.

2. Кольцо называется артиновым, если всякая убывающая последовательность левых идеалов где конечна, (а) Показать, что всякая конечномерная алгебра над полем артинова. (б) Показать, что если кольцо R артиново, то всякий ненулевой левый идеал содержит простой левый идеал,

(в) Показать, что в артиновом кольце R всякое непустое множество идеалов содержит минимальный идеал.

3. Пусть R — артиново кольцо, причем его радикал равен 0. Показать, что R полупросто. [Указание: получить вложение R в прямую сумму где -конечное множество максимальных левых идеалов.]

4. Пусть R — произвольное кольцо, М — конечно порожденный модуль и — радикал в R. Показать, что если то [Указание: заметить, что сохраняет силу доказательство леммы Накаямы.]

S. Пусть R — артиново кольцо. Показать, что его радикал нильпотентен, т. е. что существует целое число 1, для которого [Указание: рассмотреть убывающую последовательность степеней и применить лемму Накаямы к надлежаще выбранному подмодулю в

6. Пусть R — полупростое коммутативное кольцо. Показать, что R — прямое произведение полей.

7. Пусть -конечномерная коммутативная алгебра над полем к. Показать, что если R не содержит нильпотентных элементов то R — полупростая.

8. (Колчин). Пусть — конечномерное векторное пространство над полем к и О — подгруппа в , такая, что всякий элемент имеет вид где N — нильпотентный эндоморфизм. Показать, что существует элемент такой, что для всех [Указание: во-первых, свести вопрос к случаю, когда k алгебраически замкнуто, показав, что задача равносильна разрешимости некоторой системы линейных уравнений. Во-вторых, свести задачу к случаю, когда Е — простой -модуль. Комбинируя теорему Бернсайда с тем фактом, что

показать, что если то для всех и, следовательно,

9. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над полем к, S — некоторое подмножество в — -алгебра, порожденная элементами из S. Доказать, что следующие условия эквивалентны: алгебра R полупростая; Е — полупростой -модуль.

10. Пусть Эндоморфизм А называется полупростым, если множество, состоящее из одного А, удовлетворяет условиям предыдущего упражнения. Показать, что элемент А из полупрост в том и только в том случае, если его минимальный многочлен не имеет множителей кратности над к.

11. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над полем к, S — коммутативное множество его эндоморфизмов и Предположим, что алгебра R полупроста. Показать, что всякое подмножество из S полупросто.

12. Доказать, что -модуль Е тогда и только тогда является образующим, когда он сбалансирован и как модуль над R конечно порожден и проективен.