§ 6. Однозначность разложения на простые множители многочленов от нескольких переменных

Пусть А — факториальное кольцо и К — его поле частных. Пусть Мы можем представить а в виде отношения элементов из А, не имеющих общих простых множителей. Если — простой элемент из А, то

где — целое число и не делит ни числитель, ни знаменатель элемента b. Используя однозначность разложения на простые множители в А, мы тотчас убеждаемся, что число однозначно определено элементом а. Будем называть порядком а в (и записывать ). Порядок элемента в полагаем равным Если , то

Это очевидно.

Пусть — многочлен от одной переменной

Для полагаем . Если , то считаем по определению

где минимум берется по тем , для которых .

Будем называть всякий элемент вида , где — любая единица в - содержанием многочлена Содержанием будем называть выражение

где произведение берется по всем , для которых , а также любое кратное этого выражения на единицу из А.

Таким образом, содержание однозначно определено с точностью до умножения на единицу из А. Сокращенно мы обозначаем содержание через .

Если , то . Это ясно. Следовательно, мы можем записать

где имеет содержание 1. В частности, все коэффициенты многочлена лежат в А и их н. о. д. равен 1.

Лемма Гаусса. Пусть А — факториальное кольцо, К — его поле частных, — многочлены от одной переменной. Тогда

Доказательство. Записав , где мы видим, что достаточно доказать следующее: если имеют содержание 1, то также имеет содержание 1, а для этого достаточно доказать, что для всякого простого . Пусть

— многочлены с содержанием — простой элемент в А. Достаточно доказать, что не все коэффициенты делятся на . Пусть — наибольшее целое число, такое, что и не делит . Аналогично пусть - самый левый коэффициент в , не делящийся на . Рассмотрим коэффициент при Этот коэффициент равен

причем Однако делит все другие ненулевые члены в этой сумме, поскольку в каждом из них содержится либо некоторый коэффициент , стоящий слева от либо некоторый коэффициент , стоящий слева от Следовательно, с не делится на , и наша лемма доказана.

Следствие. Пусть имеет в разложение Если , то

и — элемент из .

Доказательство. Единственное, что нуждается в доказательстве, — это последнее утверждение, но оно непосредственно вытекает из равенств .

Теорема 10. Пусть А - факториальное кольцо. Тогда кольцо многочленов от одной переменной факториально. Его простыми элементами являются либо простые элементы из А, либо многочлены из неприводимые в и имеющие содержание 1.

Доказательство. Пусть Используя однозначность разложения на простые множители в и предыдущее следствие, можно найти разложение

где — многочлены из неприводимые Выделив их содержания, мы можем, не теряя общности, предполагать, что содержание равно 1 для каждого I. Тогда . Это дает нам существование разложения на простые множители. Очевидно, что каждый многочлен неприводим в . Если мы имеем другое такое разложение, скажем

то из однозначности разложения на простые множители в заключаем, что и что после перестановки множителей будет

где элементы . Так как предполагается, что и имеют содержание 1, то в действительности лежат в А и являются единицами. Это доказывает теорему.

Следствие. Пусть А—факториальное кольцо. Тогда кольцо многочленов от переменных факториально. Его единицами являются в точности единицы из А, а простыми элементами — либо простые элементы из А, либо многочлены, которые неприводимы в и имеют содержание 1.

Доказательство. Индукция.

В силу теоремы 10 в тех случаях, когда мы имеем дело с многочленами над факториальным кольцом, содержание которых равно 1, нет необходимости специально указывать, будут ли такие многочлены неприводимыми над А или над полем частных К. Эти два понятия эквивалентны.

Замечание 1. Кольцо многочленов над полем К не является кольцом главных идеалов при Например, идеал, порожденный элементами не главный (доказательство тривиально).

Замечание 2. Обычно бывает не слишком просто решить, является ли данный многочлен (скажем, от одной переменной) неприводимым. Например, многочлен приводим над полем рациональных чисел, потому что

Позже в этой книге мы укажем точный критерий неприводимости многочлена Другие критерии даются в следующем параграфе.