§ 2. Группы

Группа G — это моноид, в котором для каждого элемента существует элемент такой, что Элемент у называется обратным к Обратный элемент единствен; действительно, если у — другой обратный к то

Мы обозначаем этот обратный элемент через (или через — когда закон композиции записывается аддитивно).

Для любого положительного целого числа мы полагаем При этом обычные правила оперирования с показателями выполняются для всех целых чисел, а не только для целых чисел 0 (как это было для моноидов в § 1). Тривиальное доказательство предоставляется читателю.

Мы могли бы также определить левые единицы и левые обратные (очевидным способом). Легко доказать, что они являются на самом деле единицами и обратными соответственно. Именно:

Пусть G — множество с ассоциативным законом композиции — левая единица для этого закона. Предположим, что у каждого элемента есть левый обратный. Тогда — единица и всякий левый обратный является также обратным. В частности, G — группа.

Для доказательства рассмотрим произвольный элемент и его левый обратный

Имеем

Умножение слева на левый обратный для b дает

другими словами, b является также правым обратным к а. Кроме того,

следовательно, — правая единица.

Пример. Пусть G группа и S — непустое множество. Множество отображений является группой; именно, для любых двух отображений множества S в G определим отображение равенством

и отображение равенством Тривиально проверяется, что - группа.

Если G - коммутативна, то такова же и группа и при аддитивной записи закона композиции в G так же записывают и закон композиции в так что пишут вместо вместо

Пример. Пусть S — непустое множество, G — множество биективных отображений S на себя. Тогда G — группа, причем закон композиции — обычная композиция отображений. Единичным элементом G является тождественное отображение множества S, а групповые свойства проверяются тривиально. Элементы группы G называются перестановками множества

Пример. Множество рациональных чисел образует группу относительно сложения. Множество отличных от нуля рациональных чисел образует группу относительно умножения. Аналогичные утверждения справедливы для вещественных и комплексных чисел.

Пусть G — группа. Подгруппой Н группы G называется подмножество в G, содержащее единичный элемент и замкнутое относительно закона композиции и взятия обратного элемента (т. е. это подмоноид, такой, что , если . Подгруппа называется тривиальной, если она состоит из одного единичного элемента. Пересечение любого непустого семейства подгрупп есть подгруппа (тривиальная проверка).

Пусть G, G — моноиды. Гомоморфизм моноидов (или просто гомоморфизм) G в Q — это отображение , удовлетворяющее условию для всех и переводящее единичный элемент моноида G в единичный элемент G. Если G и - группы, то гомоморфизм группы G в G — это просто моноидный гомоморфизм.

Мы иногда будем говорить: „пусть — гомоморфизм групп", имея в виду: „пусть G, G - группы и — гомоморфизм группы G в .

Пусть гомоморфизм групп. Тогда

действительно, если — единичные элементы в G и G соответственно, то

Кроме того, если G, G — группы и — такое отображение, что для всех х, у из G, то . Действительно, и также равно . Умножение на обратный к показывает, что

Пусть G, G — моноиды. Гомоморфизм называется изоморфизмом, если существует гомоморфизм такой, что — тождественные отображения (в G и G соответственно).

Тривиально проверяется, что отображение является изоморфизмом в том и только в том случае, если оно биективно. Существование изоморфизма между двумя группами G и G иногда обозначается символом Если то мы говорим, что изоморфизм есть автоморфизм. Гомоморфизм группы G в себя называется также эндоморфизмом.

Пример. Пусть G — моноид и — элемент из G. Пусть N обозначает (аддитивный) моноид целых чисел . Тогда отображение определяемое формулой есть гомоморфизм. Если -группа, то мы можем продолжить до гомоморфизма группы Z в G (как указывалось выше, определено для всех ). Тривиальные доказательства предоставляются читателю.

Пусть — фиксированное целое число, и пусть G — коммутативная группа. Легко проверяется, что отображение

группы G в себя есть гомоморфизм. То же самое относится к отображению Отображение называется возведением в степень.

Пусть G — группа и S — подмножество в G. Мы будем говорить, что S порождает G или что S — множество образующих для G, если всякий элемент из G может быть представлен как произведение элементов из S или обратных к ним, т. е. как произведение где каждое или лежит в S. Ясно, что множество всех таких произведений будет подгруппой в Q (пустое произведение есть единичный элемент) и притом наименьшей подгруппой в G, содержащей S. Таким образом, S порождает G в том и только в том случае, если наименьшая подгруппа в G, содержащая S, совпадает с

Пусть G — группа, S — множество ее образующих и G — другая группа. Пусть — некоторое отображение. Если существует гомоморфизм группы G в G, ограничение которого на S есть f, то такой гомоморфизм единствен, т. е. допускает самое большее одно продолжение до гомоморфизма G в G. Это очевидное утверждение будет неоднократно использоваться в дальнейшем.

Пусть — гомоморфизмы групп. Тогда композиция g о — тоже гомоморфизм групп. Если — изоморфизмы, то и — изоморфизм. Кроме того, — тоже изоморфизм. В частности, множество всех автоморфизмов группы G образует группу, обозначаемую символом

Пусть — гомоморфизм групп, — единичные элементы групп G, G. Ядром отображения мы называем подмножество в G, состоящее из всех тех для которых Из определений немедленно вытекает, что ядро Н гомоморфизма подгруппа в G.

(Докажем, например, что Н замкнуто относительно взятия обратного элемента. Пусть Тогда

Так как то откуда Остальные проверки предоставляем читателю.)

Пусть опять - гомоморфизм групп, Н — его образ. Тогда Н — подгруппа в G. Действительно, содержит , и если также лежит в Н. Кроме того, лежит в Н, и, следовательно, Н — подгруппа в

Ядро и образ иногда обозначаются символами

Гомоморфизм устанавливающий изоморфизм между группой G и ее образом в G, мы будем также называть вложением.

Гомоморфизм, ядро которого тривиально, инъективен.

Чтобы доказать это, предположим, что ядро гомоморфизма тривиально и что для некоторых Умножая на получаем

Следовательно, лежит в ядре, т. е. Если, в частности, гомоморфизм также и сюръективен, то - изоморфизм. Таким образом, сюръективный гомоморфизм, ядро которого тривиально, — обязательно изоморфизм. Отметим, что инъективный гомоморфизм является вложением.

Пусть G — группа и Н — ее подгруппа. Левый смежный класс группы G по Н — это подмножество в G вида , где а — некоторый элемент из G. Всякий элемент из называется представителем смежного класса Отображение индуцирует биекцию Н на Следовательно, любые два левых смежных класса имеют одинаковую мощность.

Заметим, что смежные классы и ЬН, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают. Действительно, пусть где . Тогда Но . Следовательно, , потому что для любого имеем

Мы приходим к выводу, что G есть объединение попарно непересекающихся левых смежных классов по Н. Аналогичное замечание применимо к правым смежным классам (т. е. подмножествам в G вида На). Число левых смежных классов группы G по Н обозначается через и называется (левым) индексом подгруппы Н в G. Индекс тривиальной подгруппы называется порядком группы G и обозначается символом ). Из предыдущего получаем

Предложение 1. Пусть G — группа и Н — ее подгруппа. Тогда

в том смысле, что если два из этих индексов конечны, то конечен и третий и имеет место написанное равенство.

Если порядок конечен, то он делится на порядок подгруппы Н.

Более общо, пусть Н, К — подгруппы в G, причем . Пусть — множество представителей (левых) смежных классов Н по К и — множество представителей смежных классов G по Н. Тогда мы утверждаем, что — множество представителей смежных классов группы G по К.

Чтобы доказать это, заметим, что

причем в обоих объединениях слагаемые попарно не пересекаются. Следовательно,

Мы должны показать, что в последнем объединении слагаемые также попарно не пересекаются, т. е. представляют различные смежные классы. Предположим, что

для некоторой пары индексов . Умножив на Н справа и приняв во внимание, что лежат в Н, получим

откуда . Отсюда вытекает, что , а потому что и требовалось показать.

Формула из предложения 1 может быть, следовательно, обобщена:

причем понимать это нужно так: если два из трех индексов, входящих в формулу, конечны, то конечен и третий и имеет место написанное равенство.